بدست آوردن اجزاء مجهول مثلث به کمک اجزاء معلوم

دو مثلث در سه حالت با هم مساویند ( تساوی سه ضلع , دو ضلع و زاویه بین و دو ضلع و زاویه بین ) بنابر این با داشتن اندازه ها (زاویه ها و ضلع ها ) در هر کدام از سه حالت فوق باید بتوانیم بقیه ضلع ها و زاویه ها را بدست آوریم .
همچنین اجزاء فرعی  یعنی :
ارتفاع ها  ,  میانه ها  , نیمسازها  ,  شعاع دایره محیطی و شعاع دایره محاطی

در این قسمت به صورت کامل تمام فرمول های مثلثاتی مربوط به اجزاء اصلی و فرعی مثلث ذکر می شود ولی اثبات آن از حوصله این مقاله خارج است .

۱- اجزاء مثلث

هر مثلث شش جزء اصلی دارد . سه زاویه و سه ضلع برای مشخص کردن مثلث به سه جزء از ۶ جزء ( که یکی حتما باید ضلع باشد ) نیازمندیم . بنابر این با داشتن سه جزء اصلی ( که حتما یکی از آنها باید ضلع باشد ) می توانیم سایر اجزاء اصلی ( بقیه ضلع ها و زاویه ها ) را  بدست آوریم . ( شکل شماره ۱ )

شکل شماره ۱ – مثلث با سه ارتفاع آن
همچنان که دیده می شود سه ارتفاع مثلث همرسند

 ۲- فرمول sin ها  

فرمول زیر که به فرمول سینوس ها معروف است کمک می کند با داشتن دو زاویه و ضلع بین ,  اضلاع دیگر مثلث را بدست آوریم ( زاویه سوم را از کم کردن ۱۸۰ از مجموع دو زاویه دیگر بدست می آوریم ) ,  علاوه بر این با این فرمول شعاع دایره محیطی را هم بدست می آوریم .

۳- فرمول cos ها  

فرمول زیر که به فرمول کسینوس ها معروف است کمک می کند با داشتن دو ضلع و زاویه بین ضلع سوم مثلث و بعد با استفاده از فرمول سینوس ها بقیه زاویه های مثلث را بدست آوریم ( همچنین وقتی سه ضلع را داشته و زاویه ها را نداریم اول از این فرمول استفاده می کنیم ) :
بسته به این که کدام یک از دو ضلع و زاویه بین آنها را داشته باشیم به سه صورت فوق نوشته می شود .

۴- فرمول ارتفاع ها 

قبل از نوشتن فرمول ارتفاع ها فرمول مساحت را  بنویسیم .

۱) بدست آوردن مساحت مثلث بدون داشتن ارتفاع ( فرمول هرون )

این فرمول به نام “فرمول هرون” معروف است ( هرون دانشمند یونان باستان ۱۰ تا ۷۰ میلادی ) :

که در آن P برابر است با  نصف محیط :

۲) روش دیگر بدست آوردن مساحت مثلث بدون داشتن ارتفاع

 

۳) فرمول های ارتفاع مثلث بر پایه مساحت

با داشتن مساحت مثلث ارتفاع ها را خیلی راحت می توانیم بدست آوریم(ha , hb, hc ارتفاع های مثلث هستند)
بر  این اساس دو سری فرمول هم برای ارتفاع ها بدست می آید :

 

۵– بدست آوردن فرمول میانه ها 

یکی ازمهمترین راه های بدست آوردن فرمول میانه قضیه استوارت (به انگلیسی:Stewart’s theorem) می باشد .
که به افتخار متیو استوارت ریاضیدان اسکاتلندی بود که در مقاله‌ای در سال ۱۷۴۸ این قضیه را منتشر کرد. به نام قضیه استوارت نامیده شد .

۱) فرمول استوارت برای میانه ها  :

در شکل شماره ۲ مثلث ABC با میانه هایش رسم شده است . قضیه استوارت برای میانه ها به این صورت است

 

 

 شکل شماره ۲ – مثلث با سه میانه  آن و فرمول میانه ها

 ۱) خواص میانه   :

۱- در هر مثلث سه میانه وجود دارد که آن را به شش مثلث معادل (مساحت یکسان) تقسیم می‌کند.

۲- هر دو راس مثلث از میانه نظیر ضلع سوم به یک فاصله‌اند.

۳- میانه وارد بر هر ضلع از نصف مجموع دو ضلع دیگر کوچک‌تر است و از نصف تفاضل ان دو ضلع بزرگ‌تر است.

۴- میانه های یک مثلث به نسبت یک به دو همدیگر را قطع می کنند.

۵- نقطه تلاقی سه میانه (همرسی) مرکز ثقل مثلث است.

۶- در هر مثلت، هر میانه از مجموع دو میانه دیگر کوچک تر است.

۶– محاسبه نیمسازها 

هر مثلث شش نیمساز دارد که سه نیمساز داخلی و سه نیمساز خارجی هستند . نیمسازهای داخلی زوایای داخلی را نصف می کنند و در داخل مثلث ضلع مقابل خود را قطع می کنند ولی نیمسازهای خارجی ( که نیمساز زاویه حاصل از یک ضلع و امتداد ضلع دیگر می باشد ) امتداد ضلع ها را در خارج مثلث قطع می کنند .
در شکل حاصل محل تقاطع نیمسازهای داخلی با ضلع مقابل خود کاملا مشخص می باشد.ولی چون نیمسازهای خارجی ضلع مقابل خود را در نقطه دوری قطع کرده که امکان نمایش آن در شکل نبود با فلش و یک رنگ مشخص کردیم که علامت آن است که خطوطی که هم رنگ هم هستند . همدیگر را در جهت فلش نشان داده شده قطع می کنند ( شکل شماره ۳ ) در ضمن نیمساز های داخلی همرسند . همچنین هر نیمساز داخلی با دو نیمساز خارجی غیر مجاورش همرسند .

 

 شکل شماره ۳ -مثلث و نیمسازهایش

۱) فرمول محاسبه طول نیمسازها ی داخلی :

طول نیمسازهای داخلی (da,db,dc) با این فرمول ها بدست می آید .( ha , hb, hc ارتفاع های مثلث هستند)

 

 ۲) فرمول محاسبه طول نیمسازهای خارجی :

طول نیمسازهای خارجی   (  d’c   ,  d’b   ,  d’a   ) با این فرمول ها بدست می آید :

۷– محاسبه شعاع دایره های محیطی و محاطی  :

 هرمثلث یک دایره محیطی و چهار دایره محاطی دارد ( یکی در داخل مثلث و سه تای دیگر در خارج مثلث )

۱) مرکز و شعاع دایره محیطی

دایره محیطی دایره ای است که از هر سه راس مثلث می گذرد ( مثلث داخل آن قرار دارد ) بنایر این  مرکز آن از سه راس مثلث به یک فاصله است پس مرکزش در محل همرسی عمود منصف های مثلث قرار دارد.(شکل شماره ۴ )

 

شکل شماره ۴  -مثلث و دایره محیطی

همچنان که می بینید مرکز دایره محیطی در محل همرسی عمود منصف ها قرار گرفته است .

فرمول محاسبه قطر دایره محیطی در قسمت  فرمول سینوس ها آورده شده ولی باز در اینجا می آوریم :

۲) مرکز و شعاع دایره های محاطی  

دایره های محاطی دایره هائی هستند که هر کدام بر سه ضلع مثلث (یا امتداد اضلاع ) مماسند . بنابر این مرکز آنها در محل همرسی نیمساز ها واقعند . از آنجائی که محل همرسی سه نیمساز داخلی در داخل دایره قرار دارد پس مرکز دایره محاطی داخلی  در داخل دایره قرار دارد و دایره داخل مثلث می باشد . ( شکل شماره ۵ )
از آنجائی که هر نیمساز داخلی با دو نیمساز خارجی غیر مجاور در خارج دایره همرسند . پس یه نقطه همرسی داریم که سه دایره محاطی خارجی ( در خارج مثلث قرار دارند ) داریم .

شکل شماره  ۵   – مثلث و دایره های محیطی داخلی و خارجی

 

 همچنین بین شعاع دایره محاطی و ارتفاع ها رابطه زیر برقرار است :

برای مطالعه سایر مقاله های ریاضی  اینجا  را کلیک کنید .

برای مطالعه مقاله های روانشناسی اینجا  را کلیک کنید .

برای دیدن زیباترین آلبوم های طبیعت روی شکل زیر کلیک کنید

برای آموزش کامل و حرفه ای گوگل مپ روی شکل زیر کلیک کنید

همه چیز در مورد گوگل مپ

۱) هر گونه اظهار نظر را در فرم اظهار نظر کاربران وارد کنید .
۲) نظرات بعد از تایید مدیریت نشان داده می شود .
۳) با انتقادات و پیشنهادات سازنده خود ما را هرچه بیشتر  همراهی کنید . مدیریت از انتقادات و پیشنهادات سازنده شما استقبال میکند .
۴) هرگونه بهره برداری : کپی تمام و یا قسمتی از مطالب این سایت بدون ارجاع منبع آن ممنوع می باشد .
۵) تکثیر فایل های Pdf با ذکر منبع آزاد ولی فروش آن تحت هر عنوان و با ذکر منبع هم ممنوع می باشد .

نظر بدهید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *