نقاط لاگرانژی

دو جسم بسیار بزرگ را که جاذبه قابل ملاحظه ای داشته باشند (ستاره ها و سیاره ها و…که ما در این مقاله آنها را اجسام عظیم مینامیم)در نظرگرفته و یک جسم کوچک را (که در اینجا آن راجسم ریز یا ذره مینامیم) را هم درنظر می گیریم به گونه ای که این جسم ریز نیروی جاذبه قابل ملاحظه ای درمقابل اجسام عظیم نداشته باشد(از جاذبه اش صرف نظر می کنیم).نیروی جاذبه ای که ازطرف اجسام عظیم به جسم کوچک وارد میشود بستگی به فاصله ای داردکه جسم ریز(ذره) با اجسام عظیم دارد. ولی پنج نقطه وجود دارد که در آن نقاط  نیروی جاذبه ای که از طرف اجسام عظیم به ذره وارد می شود برابر است این نقاط را نقاط لاگرانژی می نامند. در این مقاله در مورد نقاط لاگرانژی و خواص آن توضیح می دهیم اما قبل از آن مروری می کنیم به مقاله هائی که در فصل گرانش تاکنون منتشرکردیم . و در انتها هم خلاصه مقاله را قرار می دهیم کسانی که به هر دلیل  وقت و حوصله خواندن کلیه مطالب این مقاله را ندارند می توانند خلاصه مقاله را در بخش آخر مطالعه کنند .

۱- مروری به مقاله های فصل گرانش

بی شک گرانش یکی از مهمترین نیروهای طبیعت است بدون نیروی گرانش هیچ ستاره و سیاره…بوجود نمی آمد و جهان شکل نمی گرفت.ازابتدای خلقت جهان نیروی گرانش درحال ساختن و ساماندهی جهان ما بوده ، درک چگونگی شکل گیری کهکشان ها و ستارگان و سیارات و …همه اجرام سماوی و درک حرکت آنها بدون شناخت نیروی گرانش امکان پذیر نیست.درفصل گرانش در باره بسیاری از ابعاد نیروی گرانش توضیح داده و می دهیم و این فصل را هم ازتاریخچه گرانش شروع کرده ودرمقاله های بعد سعی کردیم همه ابعاد نیروی گرانش را تشریح کنیم برای مطالعه مقاله های منتشر شده میتوانید روی لینک مقاله ها(نوشته های آبی)کلیک کنید .

۱) تاریخچه نجوم و مکانیک کلاسیک

بکی از مهمترین و اسرار آمیز ترین موضوعاتی که از انسان نخستین تا زمان حاضر همواره مورد بحث فلاسفه ( در آن زمان فیزیک و شناخت همه قوانین طبیعت جزئی از فلسفه بود)و دانشمندان بود اسرار آسمان و ستارگان و کرات آسمانی و همچنین نیروی جاذبه زمین بود. در مقاله “ تاریخچه گرانش قبل از نیوتن “ در مورد تاریخچه نجوم و نیروی گرانش توضیحات کاملی دادیم .
در این مقاله از تاریخچه نجوم و دوران زمین مرکزی(نظریه زمین مرکزی بطلمیوس) شروع کرده و بعد به نظریه خورشید مرکزی کپرنیک پرداختیم همچنین نظریه های گالیله در علوم تجربی و زندگینامه گالیله (و محاکمه گالیله )را هم مورد بررسی قرار دادیم بعد به زندگینامه و قوانین کپلر پرداختیم تا در نهایت به نیوتن و قانون جاذبه عمومی نیوتن رسیدیم .

۲) زندگینامه نیوتن

برای بشر همیشه یک سوال بزرگ مطرح بود.چرا هرچه را رها کنیم به سمت زمین سقوط می کند و اگر چنین است چرا ستاره ها به زمین سقوط نمی کنند؟ کسی که به همه این سوال ها جواب داد کسی نبود جز سِر ایزاک نیوتن ، نیوتن در ۲۵دسامبر۱۶۴۲(در سال مرگ گالیله) بدنیا آمد با آن که یتیم بدنیا آمد و کودکی سختی داشت با هوش و نبوغ و پشتکار خود توانست مدارج ترقی را یکی پس از دیگری پشت سر گذارده و به همه این سوال ها پاسخ دهد او نه تنها قوانین حرکت را وضع کرد بلکه دلیل گردش سیارات به دورخورشید… و بسیاری از سوال هائی که از هزاران سال پیش ذهن همه فلاسفه و فیزیکدان ها و منجمان و…دانشمندان را بخود مشغول کرده بود را هم توضیح داد . برای مطالعه در مورد زندگینامه نیوتن به مقاله “زندگینامه نیوتن” مراجعه کنید.

۳) نیوتن و گرانش

نیوتن همیشه به این فکر می کرد که چگونه سیارات در مدارخورشید قرار می گیرند بدون این که نیروی ناشناخته ای درکار باشد. مطابق یک داستان معروف هنگامی که نیوتن در باغ مادری خود درحال گردش بود (و یا زیر درخت سیب نشسته بود) ناگهان سیبی از درخت سقوط کرده و روی سر او می خورد و این مسئله او را به تفکر وامی دارد. و قانون جاذبه عمومی را کشف می کند. این موضوع که نیوتن چگونه موفق به کشف قانون جاذبه عمومی می شود را می توانید در مقاله “نیوتن و گرانش “ مطالعه کنید .

۴) قانون جاذبه عمومی نیوتن

قانون گرانش جهانی یا قانون جاذبه عمومی نیوتن به این شکل بیان می شود :
«بین هر دو جسم نیروی جاذبه ای وجود دارد که نسبت مستقیم با جرم آن دو جسم داشته و نسبت عکس با مجذور فاصله دارد » این قانون ساده به بسیاری از سوال ها در مورد گرانش پاسخ می دهد. برای مطالعه کامل قانون گرانش عمومی به مقاله “قانون جاذبه عمومی نیوتن“ مراجعه کنید.

۵) مکانیک مداری و قوانین کپلر

کپلر یکی از بزرگترین دانشمندان و ستارشناسان بود و نقش بسیار موثری در پیشبرد علم فیزیک و مکانیک و نجوم داشت. درمقاله های “مکانیک مداری و قوانین کپلر(۱) ” و “مکانیک مداری و قوانین کپلر(۲) ” ضمن توضیح بسیاری از مسائل در رابطه با مکانیک مداری قوانین سه گانه کپلر را هم آورده و توضیح کاملی در مورد آنها می دهیم .
همچنین در فصل ماهواره(۱) ” جمع بندی فصل دهم – ماهواره ” و همچنین فصل ماهواره (۲)”جمع بندی فصل یازدهم – ماهواره (۲) ” توضیحات کاملی در مورد ماهواره و انواع مدارهای ماهواره می دهیم.

۶) گرانش و انرژی

مفهوم کار و انرژی کاربرد بسیار زیادی در فیزیک و مکانیک دارد که به وسیله آن بسیاری از مسائل را می توان درک کرد یکی از صورت های انرژی ها انرژی، “ انرژی پتانسیل گرانشی “می باشد در مقاله “ گرانش و انرژی “مطالب بسیارمفیدی در رابطه با انرژی و نیروی گرانش آوردیم .

۷) کمک گرانشی

کمک گرانشی یا “مانور قلاب سنگ” روشی است که به کمک آن فضاپیماهائی که می خواهند به اعماق فضا سفر کنند از تکانه و انرژی سیارات استفاده کرده و سرعت خود را افزایش و یا کاهش می دهند .
درمقاله “ کمک گرانشی“ نشان می دهیم که چگونه می توان با استفاده از تکانه سیارات سرعت سفیته ها را افزایشش داده و آنها را به اعماق فضا روانه کرد .

۸) نیروی های کِشندی

 نیروی کِشندی یک اثر ثانویه از نیروی جاذبه و باعث به وجود آمدن پدیده های مختلفی از جمله :
جزر و مد ، قفل کِشندی ، متلاشی و تجزیه شدن اجسام در محدوده روچ و … گرمایش کشندی (همانند آنچه در قمر آیو مشاهده می شود ) دور شدن اجسام بخاطر از دست دادن انرژی می شود . این نیرو ها در بسیاری از منظومه ها (سیارات و قمرها ، ستارگان و سیارات و… ) هم خود را نشان می دهد.در مقاله های “نیروهای کشندی (۱) “ و “نیروهای کشندی(۲) “در رابطه با این پدیده ها توضیح می دهیم .

۲- نقاط لاگرانژی چیست؟

نقاط لاگرانژی اهمیت بسیار زیادی در فیزیک و نجوم و فضانوردی دارد مهمترین اهمیت نقاط لاگرانژی در این است که اگر یک ذره درنقاط لاگرانژی دو جسم عظیم قرار بگیرد موقعیت آن نسبت به دو جسم تغییری نمی کند و این مسئله از بسیاری جهات اهمیت دارد در این بخش ابتدا نقاط لاگرانژی را تعریف کرده و در مورد ابعاد محتلف آن توضیح می دهیم و در بخش های بعد مسائل مهم دیگری را در رابطه با نقاط لاگرانژی توضیح می دهیم . ابتدا از تاریخچه نقاط لاگرانژی شروع می کنیم .

۱) مسئله دو جسم

نیوتن قانون گرانش جهانی را کشف کرد تا قبل از نیوتن مسئله دو جسم یکی از معماهای فیزیکدان ها بود و آن به این صورت بود که اگر دو جسم در فضا داشته باشیم با توجه به جرم و فاصله آنها از یکدیگر و وجود نیروی گرانش بین آنها چه برهم کنشی نسبت به یکدیگر دارند این دو جسم چه بر هم کنشی نسبت به هم نشان می دهند.با فرمول بندی قانون گرانش جهانی توسط نیوتن مسئله دو جسم تا حدودی زیادی حل شد . و پایه و اساس مکانیک مداری بر همین اساس ریخته شدبرای مطالعه در مورد مکانیک مداری به مقاله “مکانیک مداری و قوانین کپلر(۲) ” بخش پنجم(۵- مسئله دو یا چند جسم)مراجعه کنید.

۲) مسئله سه جسم و بیشتر

حال فرض کنیم به جای دو جسم حداقل سه جسم(سه جسم و بیشتر ) داشته باشیم که به دور یکدیگر در حال گردش باشند و بخواهیم با استفاده از قوانین حرکت نیوتن و قانون جاذبه عمومی او حرکت بعدی این سه جسم و معادله حرکت و برهم کنش آنها نسبت به یکدیگر (درست همانطور که در مورد حرکت دو جسم می توانیم) تعیین کنیم.از زمان نیوتن تاکنون کسی قادر به حل آن نشده است و برخلاف تصورحل این مسئله یکی از معماهای علم مکانیک بوه و تا امروز لاینحل مانده است . در این مورد در مقاله “مکانیک مداری و قوانین کپلر(۲) ” بخش پنجم(۵- مسئله دو یا چند جسم)

۳) مسئله سه جسم در حالت ساده تر

لئونارد اویلر (۱۵آوریل ۱۷۰۷– ۱۸سپتامبر ۱۷۸۳)ریاضیدانان و فیزیکدانان برجسته سوئیسی در سال ۱۷۶۵برای حل مسئله ۳جسم حالت خاصی از این مسئله را در نظر گرفت و آن این بود که یکی از۳جسم را بسیار خرد در نظر گرفته به گونه ای که بتوان از گرانش آن چشم پوشی کرد و کوشش کرد نقاطی را پیدا کند که در آن نقاط نیروی گرانش وارده شده برجسم خرد توسط دو جسم عظیم برابر باشد(او مجموعه زمین وماه را درنظر گرفت) به این ترتیب اویلر توانست نقاط لاگرانژی (L1وL2وL3)را بدست بیاورد.درسال۱۷۷۲ژوزف لاگرانژ (۲۵ژانویه ۱۷۳۶– ۱۰آوریل ۱۸۱۳)ریاضیدان و منجم فرانسوی دنبال کارهای اویلر را گرفت و توانست علاوه بر بدست آوردن و فرمول بندی نقاط لاگرانژی (L1 وL2وL3) نقاط لاگرانژی (L4وL5)را هم بدست بیاورد.اونتیجه مطالعات خودرا درمقاله ای به نام «مسئله سه جسم »درسال۱۷۷۲منتشر کرد. از این رو این نقاط به نام نقاط لاگرانژی نامیده شدند .

۴) نقاط لاگرانژی ( Lagrangian points)

نقاط لاگرانژی (Lagrangian points) پنج نقطه میان دو جسم بزرگ هستند که در آن نیروی جاذبه دو جسم همدیگر را خنثی می‌کند. به عبارت دیگر اگر یک جسم با گرانش ناچیز (ذره )دریکی از این نقاط قرار بگیرد نیروی جاذبه وارد شده به آن توسط دو جسم عظیم(بسیار بزرگ)یکدیگر را خنثی کرده بنابر این هیچ نیروئی به حسم کوچک وارد نمی شود. نقاط لاگرانژی خواص شگفت انگیزی دارند. 

شکل شماره ۱ – نقاط لاگرانژی در اطراف دو جسم عظیم

۵) تعداد نقاط لاگرانژی

می توان ثابت کرد تعداد نقاط لاگرانژی دو جسم ۵ عدد می باشد( نه کمتر و نه بیشتر ) این نقاط در اطراف و دو طرف دوجسم عظیم قرار دارند هرجسمی ریزی که در یکی از این نقاط قرار بگیرد برآیندنیروی گرانش وارد شده ازطرف دو جسم عظیم بر روی آن یرابر صفرمی باشد و انگارهیچ نیروی جاذبه ای بر آن وارد نمی شود .

۶) نقاط لاگرانژی برای چه اجسامی تعریف می شود ؟

نقاط لاگرانژی برای این سیستم ها و با این ششرایط تعریف می شود
۶-۱) فقط برای دو جسم : نقاط لاگرانژی را فقط برای دو جسم تعریف می کنند و برای یک جسم تنها نقاط لاگرانژی تعریف نمی شود بنابر این هیچگاه نمی گویند نقاط لاگرانژی زمین کجاست بلکه می گویند نقاط لاگرانژی “خورشید و زمین“، “زمین و ماه”،“خورشید و ناهید“ همچنین برای بیش ازدو نقطه هم تعریف نمیکنند.
۶-۲) گردش دو مرکز جرم مشترک : نقاط لاگرانژی را برای اجسامی تعریف می کنند که دور مرکز جرم مشترکشان می چرخند و برای دو جسم سرگردان در فضا که دور مرکز جرمشان نمی چرخند تعریف نمی کنند  مثلا نقاط لاگرانژی را برای مجموعه زمین و مریخ تعریف نمی کنند .
۶-۳) مدارها باید دایره ای باشند : مدار دو جسم باید حتما دایره باشد با این وجود نقاط لاگرانژی را برای مدارهائی که بیضی نزدیک به دایره هستند هم تعریف می کنند ولی خیلی دقیق نیست بنابر این هر چه بیضی کشیده تر باشد دقت کمترتر بوده و هرچه بیضی به دایره نزدیکتر باشد دقت بیشتر می باشد .
۶-۴)نقاط لاگرانژی و جابجا شدن دو جسم:نکته ای که بسیار اهمیت دارد این است که نقاط لاگرانژی با چرخش دو جسم و جابجا شدن موقعیت آنها تغییری نمی کند و موقعیت آنها نسبت به دو نقطه ثابت است.

شکل شماره ۲ – نقاط لاگرانژی بر اثر جرکت دو جسم جابجا نمی شود

۷) نقاط لاگرانژی پایدار و ناپایدار

همچنان که در شکل شماره یک  می بینید ۵ نقطه لاگرانژی وجود دارد که سه نقطه آن در روی خط واصل بین مراکز دو جسم عظیم قرار داشته (L1 وL2وL3) و دو نقطه دیگر که با زاوبه ۶۰درجه نسبت به خط واصل دو جسم قرار دارد (L4وL5) ، سه تقطه اول (L1 وL2وL3) را نقاط ناپایدار لاگرانژی می نامند زیرا اگر یک ذره در یکی از این نقاط قرار بگیرد با حرکت بسیار کوچکی از این نقطه خارج می شود بنابر این فضاپیماها و ماهواره هائی که در این نقاط قرار می گیرند باید سوخت اضافی با خود داشته باشند تا بتوانند مجدد به این نقاط برگردند . در عوض نقاط(L4وL5) نقاط پایدار هستند.ذره ای که در این نقاط قرار بگیرد با تغییر محل کوچک دوباره به همان نقطه بر می گردد.(البته به شرطی که نسبتM1/M2 یعنی نسبت دو جرم از۲۴/۹۶بزرگتر باشد- حدود ۲۵برابر)

۸) بر سر جسمی که در نقاط لاگرانژی قرار می گیرد چه اتفاقی می افتد؟

حال سوال اینجاست اگر دو جسم عظیم داشته باشیم که برگرد مرکز جرم مشترکشان می چرخند و یک جسم ریز در یکی از نقاط لاگرانژی (مثلا نقطه L1 در مجموعه ماه و زمین) قرار بدهیم چه اتفاقی می افتد؟ پاسخ این است که آن جسم با همان سرعت زاویه ای ماه به دور زمین خواهد چرخید به گونه ای که موقعیت ماه و زمین و جسمی که درنقطه لاگرانژی قرارداده شده است بر اثر چرخش ماه و زمین به دور مرکز جرم
مشترکشان هیچ تعییری نمی کند.(شکل شماره ۲ )

۳- محاسبه نقاط لاگرانژی

در این بخش فاصله دو جسم عظیم را از نقاط لاگرانژی محاسبه می کنیم . فرمول ها و جدولی که بعد از آن ارائه می شود(نقاط لاگرانژی مجموعه خورشیدو سیاره های منظومه شمسی – جدول شماره یک) بر اساس فاصله جسم کوچکتر از نقاط لاگرانژی می باشد .
قبل از آن به چند نکته مهم در مورد فرمول ها توجه کنید .
همچنین به شکل شماره ۳ دقت کنید . برای جلوگیری از شلوغ شدن شکل نوشته های اضافی را در شکل ۲ حذف کرده و دوباره شکل را رسم کردیم .

شکل شماره ۳ – موقعیت اجسام و نقاط لاگرانژی

۱) نکات بسیار مهم در فرمول های نقاط لاگرانژی

به این نکات در مورد فرمول ها دقت کنید. لازم به ذکر است که اثبات این فرمول ها پیچیده بوده و در این مقاله نمی گنجد می توانید اثبات فرمول ها را از منابع دیگر بدست بیاورید .
۱-۱) نام گذاری نقاط : برای سادگی نقطه ای را که دو جسم عظیم قرار دادند به نام مرکز جرم آنها نامگذاری کردیم بنابر این مکان مرکز جسم بزرگتر (جسمM₁ با جرمM₁) را نقطه M₁ و مکان مرکزجسم بزرگتر(جسمM₂ با جرمM₂)را نقطه M₂ نامگإاری کردیم . مکان نقاط لاگرانژی را هم به نام خود آنها نامگذاری شده است .
۱-۲) تقریبی بودن فرمولها و اختلاف جرم دو جسم عظیم : برای این که فرمول ها دقت بالائی داشته باشد باید جرم جسم بزرگتر M₂ حداقل ۲۵ برابر جسم کوچکتر M₁ باشد . با وجود رعایت این شرط باز هم فرمول تقریبی بوده و از این رو به جای علامت مساوی علامت تقریبی قرار دادیم . با این حال خطای فرمول بسیار کم بوده و تا جند رقم اعشار قابل استفاده می باشدهر چه اختلاف جرم دو جسم بیشتر باشد فرمول ها دقیق تر می باشد. از آنجا که جرم خورشید ده ها و صدها هزار برابر جرم سیارات است برای محاسبه نقاط لاگرانژی بین خورشید و سیارات با دقت بسیار زیادی میتوان از این فرمول ها استفاده کرد.
۱-۳)مدار دایره ای و بیضوی : نقاط لاگرانژی برای مدارهای دایره ای تعریف شده است برای مدارهای بیضی نقاط لاگرانژی نداریم (بخصوص بیضی های کشیده )بنابر این دومین عاملی که خطای بالا ایجاد می کند بیضی بودن مدارها می باشد (البته برای مدارهای بیضی به جای فاصله دو جسم( R ، “شعاع مدار”)می توان نیم قطر بزرگ بیضی را در نظر گرفت.) بنابر این هر چه مدارها به دایره ای نزدیکتر باشند دقت فرمول بیشتر می باشد.
از آنجائی که  مدار بیشتر سیارات منظومه شمسی بیضی نزدیک به دایره می باشد(بخصوص چهار سیاره سنگی نزدیکتر به خورشید) با دقت بالا می توان از فرمول استفاده کرد .
۱-۴)نقاط لاگرانژی L₄ و L₅ : همچنان که در شکل شماره ۳دیده می شود اگر از هرکدام از نقاط لاگرانژی L4 و L5 به جسم بزرگتر و جسم کوچکتر وصل کنیم یک مثلث متساوی الاضلاع بدست می آید که طول هر ضلع آن R(شعاع مدار)می باشد بنابر این فاصله دو جسم از نقاط لاگرانژی L₄ و L₅ برابر R می باشد .* با این وجود این فاصله تقریبی می باشد و فاصله دقیق تر اندکی تفاوت دارد که فرمول پیچیده ای هم دارد . از آنجا که مقدارخطا بسیار کم بوده و خود فرمول هم تقریبی بوده از ارائه فرمول خودداری کرده و فاصله نقاط L₄ و L₅ را همان R در نظر می گیریم .
۱-۵)نقاط لاگرانژیL₁و L₂: فاصله نقاط لاگرانژیL1وL2 ازجسم کوچکتر در فرمولی که ارائه می شود با هم برابر بوده ولی در واقع مقدار بسیار اندکی تفاوت دارد که چون تفاوت خیلی کم است به آن نمی پردازیم .

۲) نقاط لاگرانژی را چگونه محاسبه می کنند  

برای بدست آوردن نقاط لاگرانژی دو جسم عظیم (M₁ و M₂) را در نظر گرفته که در مداری به دور مرکز جرم مشترکشان می چرخند (این مهمترین شرط برای تعیین نقاط لاگرانژی می باشد) یکی از این اجسام باید بسیار بزرگتر از دیگری باشد(حداقل ۲۵ برابر)جسم بزرگتر را M₁ و جسم کوچکتر را M₂ در نظر می گیریم (M₁>>M₂) برای محاسبه مختصات نقاط لاگرانژی به این ترتیب عمل می کنیم (شکل شماره ۳ )
۲-۱) تعیین مبدا مختصات : ابتدا یک دستگاه محتصات در نظر گرفته که مرکز دستگاه ترجیحا مرکز جرم دو جسم باشد .
۲-۲) گردش دستگاه مختصات : در این دستگاه بخاطر حرکت دو جسم مختصات آنها تغییر می کند برای این که مختصات دو جسم تغییر نکند دو جسم را ثابت در نظر گرفته و دستگاه مختصات را با همان سرعت زاویه ای دو جسم به دوران در می آوریم . در این حالت اگر کسی در روی یکی از نفاط دستگاه مختصات باشد دو جسم عظیم را در جای خود ثابت می بیند . و از نظر او مختصات دو جسم تغییری نمی کند .

شکل شماره ۴ – دستگاه مختصات چرخان

۲-۳)محاسبه مختصات نقاط لاگرانژی :در این مرحله یک جسم بسیار کوچک به جرم m را به مجموعه اضافه می کنیم چون جرم این ذره بسیار ناچیز  می باشد روی حرکت دو جسم بزرگ و مرکز جرم آنها کوچکترین تاثیری ندارد . اگر این جسم را در نقاط مختلف قرار بدهیم نیروی جاذبه ای که از طرف دو جسم عظیم بر آن وارد می شود با هم تفاوت می کند به طوری که ذره کوچک به سمت برآیند نیروهای وارد شده حرکت می کند ولی می توان ثابت کرد که فقط پنج نقطه وجود دارد که اگر جسم m دریکی از این نقاط قرار بگیرد (نقاط لاگرانژی ) برآیند نیروهای وارد بر آن از طرف دو جسم عظیم صفر بوده به طوری که موقعیت m نسبت به M₁ و M₂ با جابجا شدن M₁ و M₂ تغییری نمی کند و مختصات جسم m (شکل شماره ۴) بدون تغییر باقی می ماند .
چون دستگاه با سرعت زاویه ای دوران M₁ و M₂ درحال دوران می باشد مختصات M1 و M2 تغییری نمی کند بنابر این موقعیت و مختصات جسم m هم تغییری نمی کند و شخصی که در روی دستگاه باشد جسم m را هم مانندM₁ و M₂ بدون حرکت می بیند. و در نظر او مختصات m هم ثابت می ماند. حال می توانیم مختصات نقاط لاگرانژی را با توجه به قوانین مکانیک کلاسیک و ریاضیات محورهای مختصات چرخان محاسبه کنیم و همانطور که که گفته شد در اینجا وارد جزئیات آن نشده و فقط فرمول ها را ارائه می دهیم .

۲) اطلاعات اولیه

اطلاعات اولیه دو جسم M₁ و M₂ و نقاط لاگرانژی به این صورت می باشد .

۳)نقاط لاگرانژیL1 وL2

فاصله نقاط لاگرانژی L₁ و L₂ ازجسم کوچکتر (جسمM₁) برابر بوده و تقریبا  از این رابطه بدست می آید.

فرمول شماره یک – فاصله نقاط لاگرانژی L1 و L2 از جسم کوچکتر

۴) نقطه لاگرانژی L3

فاصله نقطه لاگرانژی L₃ ازجسم کوچکتر (جسمM1)تقریبا از این رابطه بدست می آید.

فرمول شماره ۲ – فاصله نقطه لاگرانژی L3 از جسم کوچکتر

نقطه لاگرانژی سوم L₃ در آنطرف مدارجسم M₂ قرار دارد.همچنان که دیده می شود این فاصله کمی بیشتر از قطرمدارجسم کوچکتر(۲R) می باشد.حال ببینیم چقدر بیشتر است؟
اگر به جمله اول فرمول یعنی R/(7M₂/12M₁) نگاه کنیم می بینم که در منظومه شمسی که جرم خورشید ده ها و صدها هزار برابر سیارات می باشد عبارت  R/(7M₂/12M₁) هم ده ها و صدها هزار برابر کوچکتر از۲R می باشد پس براحتی می توانیم از R/(7M₂/12M₁) صرف نظر کرده و نقطه لاگرانژی سوم را درست روبروی سیاره در آنطرف مدار سیاره در نظر بگیریم و با تقریب خوبی بنویسیم :  M₂L₃=2R  ( مثلا این اختلاف در مورد عطارد ۵ کیلومتری مدار ، ناهید ۱۵۴کیلومتری ، زمین ۲۶۲ و…)دیده میشود که مثلا برای زمین ۲۶۲ کیلومتر در مقابل ۳۰۰میلون کیلومتر قطرمدار زمین کاملا قابل صرف نظر کردن می باشد . (بیش از یک میلون برابر کمتر است )

فرمول شماره ۳ – مقدار تقریبی فرمول شماره ۲ ( فاصله نقطه L3 از جسم کوچکتر )

۵) خلاصه بخش محاسبه نقاط لاگرانژی

نقاط لاگرانژی را فقط برای دو جسم که به دور مرکز جرم مشترکشان می چرخند تعریف می کنند. باید توجه کرد که فرمول های ارائه شده در اینجا برای محاسبه فاصله نقاط لاگرانژی از جسم کوچکتر، تقریبی بوده ولی اگر جرم جسم بزرگتر حداقل ۲۵برابرجسم کوچکتر باشد و مدارها دایره کامل باشد این فرمول ها دقت بسیار بالائی دارد . بنابر این هرچه اختلاف جرم دو جسم بیشتر باشد و مدارها دایره کامل باشد فاصله نقاط لاگرانژی دقیق تر می باشد. با توجه به این که در منظومه شمسی خورشید ده ها و صدها هزار برابر سیارات می باشد و مدارها بسیار به دایره شبیه هستند خطای این فرمول ها به کمتر از یکصدم درصد می رسد . فرمول ها را می توان به این صورت خلاصه کرد
نکته : موقعیت نقاط لاگرانژی در شکل شماره ۲کشیده شده است همچنین فاصله مجموعه نقاط لاگرانژی سیارات و خورشید در جدول شماره یک خلاصه شده است.
۵-۱) فاصله نقاط لاگرانژی L1 و  L2 : فاصله این نقاط برابر بوده و به این صورت می باشد : 

۵-۲) فاصله نقطه لاگرانژی L3 : این نقطه درست روبروی جسم کوچکتر و در آنسوی مدار قرار دارد و بنابر این فاصله آن از جسم کوچکتر برابر است با قطر مدار چرخش جسم کوچکتر به دور جسم بزرگتر یعنی : ۲R

۳-۵) فاصله نقاط لاگرانژی L4 و L5 : با توجه به شکل شماره ۲ دیده می شود که مراکز دو جسم بزرگتر و کوچکتر  و هر کدام از نقاط لاگرانژی در روی رئوس یک مثلق متساوی الاصلاع به صلع R قرار دارند . بنابر این فاصله نقاط لاگرانژی L4و L5 از جسم کوچکتر ( همچنین بزرگتر ) برابر است با شعاع مدار یعنی : R

۵)جدول نقاط لاگرانژی

بر اساس فرمول های داده شده و دانستن فاصله سیارت منظومه شمسی فاصله نقاط لاگرانژیL₁و L₂ درمورد سیارات منظومه شمسی به این صورت می باشد . لازم به ذکر است که مقادیر این جدول (که با فرمول های ارائه شده بدست آمده)با مقادیر اندازه گیری شده توسط دانشمندان بزحمت به۰۰۳/درصد می رسد . بیشترین اختلاف مربوط به نقاط لاگرانژی ماه و زمین می باشد که بخاطر بیضی بودن مدار ماه و تفاوت کمتر اختلاف جرم ماه و زمین مقدار خطا حدود یک درصد می باشد .

جدول شماره یک – نقاط لاگرانژی L1 و L2 سیارات منظومه شمسی

در مورد مجموعه زمین و ماه در بخش پنجم نقاط لاگرانژی ماه و زمین توضیحات کامل می دهیم .

۴- نقاط لاگرانژی زمین و خورشید

نقاط لاگرانژی بخصوص نقاط لاگرانژی(“زمین و ماه “ و “خورشید و زمین“)برای ستاره شناسان ، قضانوردان و… سازمان های فضائی اهمیت بسیار زیادی دارد . مطالعه نقاط لاگرانژی از چند نظر اهمیت دارد . اول از نظر فوائد و استفاده ای که از این نقاط می شود کرد و دیگر خطرات و تهدیداتی که نقاط لاگرانژی می توانند برای زمین داشته باشند و… در این بخش در مورد فوائد و خطرات نقاط لاگرانژی مجموعه “زمین و خورشید “ توضیح داده و در بخش بعد در مورد مجموعه زمین و ماه توضیح می دهیم . قبل از آن توضیح کوتاهی راجع به تلسکوپ های فضائی و ماهواره ها خواهیم داد .

۱)هزینه ساخت و پرتاب تلسکوپ و ابزارهای نجومی به فضا

فرستادن ماهواره ها و کاوشگرها به فضا کاری بسیار پرهزینه و مشکل می باشد( در مقاله های “صعود” و “فرود “ در این باره توضیح کامل دادیم ) ازاین رو جسمی که به فضا فرستاده می شود امکان سرکشی مداوم و تعمیر قسمت های مختلف آن بسیار مشکل و پر هزینه می باشد و عملا امکان پذیر نمی باشد (با این وجود تلسکوپ فضائی هابل را چند بار مجبور شدند تعمیر کنند) از طرفی دیگرساخت و تجهیز ماهواره ها و تلسکوپ ها و ابزارهای نجومی که به مدار فرستاده می شود هم پرهزینه و وقت گیر می باشد. به عنوان مثال ساخت و پرتاب تلسکوپ هابل ۵/۱میلیارد دلار و تلسکوپ جیمز وب که پروژه آن ازسال ۱۹۹۷رقم خورده و قرار است تا سال ۲۰۲۱به فضا پرتاب شود تا سال ۲۰۱۸حدود ۱۰میلیار دلار هزینه در برداشته است.بنابر این در ساخت این تجهیزان دقت بسیار زیادی باید کرد تا نتیجه هزینه ها و زحمات به هدر نرود و بهترین نتیجه از آن عاید شود.بنابر این در درجه اول ابزارهای نجومی که قرار است در فضا گذاشته شود بایددر نزدیکی زمین وجائی قرار بگیرند که همیشه در دسترس بوده و فیلم و عکس و اطلاعات گرفته شده را بتوانند به زمین بفرستند پس مدار زمین بهترین محل برای قرار گیری ابزارهای نجومی می باشد پس نقاط لاگرانژی به چه درد می خورد؟ در قسمت های بعد در باره اهمیت قرار گیری این ابزارها در نقاط مخلف لاگرانژی توضیح خواهیم داد .
در مقاله های آینده “ تلسکوپ ها و ابزار های نجومی “ در این باره بیشتر توضیح خواهیم داد .  

۲)اهمیت پانل ها و باطری های خورشیدی

یکی ازقسمت های مهم هر ماهواره(و یا هر ابزاری که به فضافرستاده می شود)پنل های خورشیدی و باطری های آن است.ماهواره ای که درمدارزمین قرار می گیردنیم(ویا قسمتی) ازمسیرخود را در تاریکی سایه زمین (شب) واقع می شود و برای استفاده بهینه باید باطری های خود را در قسمتی از مسیر که رو به خورشید قرار دارد شارژ کند از طرفی دیگر باحرکت ماهواره جهت گیری پنل ها نسبت به خورشید عوض می شود و باید پنل ها همواره بچرخد تا بیشترین نور را از خورشید جمع آوری کند . همین چرخش پنل ها و شارژ و خالی شدن باطری ها طول عمر ابزار نجومی را کاهش می دهد و چون امکان تعمیر و عوض کردن باطری ها و… مشکل و پر هزینه می باشد طول عمر مفید ابزار نجومی کاهش می یابد.
( درمورد اجزاء  ماهواره در مقاله “ اجزاء ماهواره ” توضیح بیشتری خواهیم داد )

شکل شماره ۵ – ماهواره و پنل های خورشیدی

۳) اهمیت نقطه لاگرانژی L₁

فاصله نقطهL₁ اززمین تقریبا ۱/۵میلون کیلومتر است (تقریبا ۴برابر فاصله ماه تا زمین) جسمی که در این نقطه قرار می گیرد بین خورشید و زمین واقع شده و در مدار مستقل به دورخورشید می چرخد و همیشه موقعیت خودش را نسبت به زمین و خورشید حفظ می کند بنابر این پانل های خورشیدی آن همواره رو به خورشید می باشند و نیازی به چرخش و تنظیم ندارد ازطرفی حتی به باطری(که از اجزاء مصرفی ماهواره ها می باشد)هم نیاز چندانی ندارد.این ها مزیت های بزرگی می تواندباشد ولی ولی ایراد بزرگ آن این است که بین زمین و خورشید واقع بوده و سمت رو به خورشید بدرد رصد فضا و ستارگان نمی خورد و زمین هم مانعی برای رصد می باشد از طرفی ماندن دائمی در نور خورشید اجازه خنک شدن به پنل های و ابزارهای دستگاه را نمیدهد. پس به چه دردی می خورد؟بسیاری از ابزارهای نجومی برای مطالعه وجمع آوری اطلاعات ازخورشید ساخته شده اند و باید ابزارهای خود را دائما رو به خورشید نشانه بگیرند برای این ابزار ها بهترین نقطه L₁ می باشد . از جمله ابزارهائی که در این مکان گذاشته شده اند می توان به رصدخانه خورشیدی “سوهو “ ( Solar and Heliospheric Observatory ) اشاره کرد که اطلاعات بسیار مفیدی در مورد خورشید جمع آوری کرده است . همچنین رصدخانه آب‌وهوای فضای ژرف (به اختصار DSCOVER) اشاره کرد که مسئول بررسی طوفان های خورشیدی می باشد(شکل های شماره ۶ و ۷ )
در مقاله های آینده “ تلسکوپ ها و ابزار های نجومی “ در این باره بیشتر توضیح خواهیم داد .  

شکل شماره ۶ – رصدخانه آب‌وهوای فضای ژرف

شکل شماره ۷ – رصدخانه خورشیدی و هورسپهری (سوهو)

۴) اهمیت نقطه لاگرانژی L2

نقطهL₂هم همین مزیت ها را نسبت به نقطهL₁دارد (در مداری مستقل دور خورشید چرخیده و موقعیت خود را همواره نسبت به زمین حفظ میکند)با این تفاوت که خورشیددیگر مانعی برای رصدستارگان نیست ابزارهائی که درL₂نصب می شوند می توانند پنل های خورشدی خود را به صورت دائم به سمت خورشید گرفته و ابزارهای اپتیکی( آینه تلسکوپ و…)را هم پشت به خورشید بگیرند.به دلیل فاصله زیادبا زمین مسیربسیار کمتری از نصف مسیر هم دردرون سایه زمین قرار می گیردکه می تواند ازهمین موقعیت هم برای خنک کردن پنل ها و ابزارهای حساس خود تا میزان۵۰درجه استفاده کندکه برای ماندگاری و طول عمرابزارها بسیار مفیدمی باشد. از این روتلسکوپ های فضائی(نظیر تلسکوپ هابل،هرشل و…جیمز وب)و همچنین کاوشگر ویلکینسون(WMAP) که تابش پس زمینه کیهانی را اندازه می گیرد همگی دراین نقطه قرار داشته و یا قرارداده می شوند. ( شکل های ۸ تا ۱۰)

شکل شماره ۸ – تلسکوپ فضائی هرشل

شکل شماره ۹ – فضاپیمای اقلیدس

شکل شماره ۱۰ – تلسکوپ فضائی جیمز وب

۵) نقطه لاگرانژی L₃ و ضد زمین

نقطه L₃(ضد زمین) درست در نقطه مقابل مدار زمین به دورخورشید قرار دارد.جسمی که در این مدار قرار می گیرد همیشه پشت به خورشید قرار دارد و از روی زمین دیده نمی شود. مدتی اعتقاد بر این بود که سیاره دهم یاسیاره ایکس(در آن زمان پلوتون هم جزء سیارات منظومه شمسی بوده و بنابر این تعداد سیارات نه عدد بود ) در این مکان قرار دارد و چون فاصله زمین از خورشید تقریبا به اندازه زمین تا سیاره ایکس بود این سیاره همانند زمین می توانست دارای حیات و… باشد بنابر این داستان های علمی تخیلی زیادی راجع به موجودات بیگانه که در این سیاره فرضی زندگی می کنند نوشته شد . امروزه ثابت شده که در این مکان سیاره ای وجود ندارد و با وجود مشکلات رصدی دانشمندان به کمک کاوشگرها و ابزار های نجومی توانستند تعدادی از اجرام کوچک را شناسائی کنند ولی این به معنی پایداری این نقطه نیست . در صورتی که در منظومه شمسی فقط زمین و خورشید بود این نقطه یکی از نقاط پایدار لاگرانژی بود ولی گرانش سیارات دیگر (مانند ناهید) که فاصله بسیار کمتری نسبت به زمین با L₃ دارند می توانند این نقطه را ناپایدار کنند . 

۶)اهمیت نقطه لاگرانژی L₃

نقطه لاگرانژی L₃ از زمین بسیار دور بوده و ناپایدار می باشد(و این بزرگترین ایراد این نقطه می باشد) و درحال حاضر هیچ ابزار نجومی در این مکان قرار ندارد و سازمان های فضائی برنامه ای فعلا برنامه ای برای آینده این نقطه ندارند ولی اگر یک فضاپیما که درنزدیکی این نقطه مستقر شود می تواند بهتر از نقاط لاگرانژی L₁ و L₂ خورشید را نظارت کند .

۷) نقاط لاگرانژی L₄ و L₅ و تروجان ها

از بین پنج نقطه لاگرانژی،نقاط لاگرانژی L₄ و L₅ جزء پایدارترین نقاط به شمار می روند و هرجسمی که در این نقاط قرار بگیرد بسختی جابجا شده و تغییر مکان می دهد و همیشه همراه زمین در مدارش به دور خورشید زمین را همراهی می کند و از زمین دور نمی شود . این موضوع از دو جهت برای دانشمندان اهمیت دارد .
۷-۱)تهدید: اجسامی که درL4و L5 قرار بگیرند تنها درسپیده دم صحبگاهی و یا هوای گرگ و میش عصرگاهی قابل مشاهده می باشندازطرف دیگر این اجسام بسیار کوچک می باشند و بسختی دیده میشوند از این رو نام “تروجان “ را به آنها داده اند که به معنی مخفی می باشد (تروجان از افسانه اسب چوبی تروا آمده است ) بنابر این تروجان ها به اجسامی میگویند که مانند سایه زمین (و سیارات دیگر) را تعقیب می کنندبدون این که براحتی دیده شوند. این اجسام می توانندتهدیدبالقوه ای برای زمین باشند که در ادامه  آن را بررسی میکنیم .
۷-۲)سفرهای فضائی : نقاط لاگرانژی L₄ و L₅ می توانند کمک بزرگی برای سفرهای فضائی آینده باشند از آنها می توان به عنوان ترمینال ها و پارکینگ های فضائی استفاده کرد که در بخش ۸ در موردآن توضیح میدهیم.

۸)خطر برخوردهای سیارکی  

یکی از خطراتی که زمین و حیات زمینی را تهدید می کند برخوردهای سیارکی می باشد میلیاردها سنگ آسمانی (سیارک ) در منظومه شمسی وجود دارد که اندازه ای درحدیک دانه شن و یا صدها کیلومتر دارند که خوشبختانه تعداد بسیار اندکی ابعاد بزرگ دارند. هر روزه میلون ها عدد از این اجسم به زمین برخورد کرده و درجو میسوزند و از بین می روند و به طور متوسط تنها ۵۰۰ عدد از آنها به سطح زمین برخورد کرده و که آنها هم بسیار کوچک بوده و نمی توانند صدمه ای جدی بزنند . ولی سنگ های بسیار بزرگ در ابعاد صدها متر و یا چندین کیلومتر بسیار خطرناک هستند و می توانند حتی حیات را در کل زمین منقرض کنند . دانشمندان مرتب این اجسام بزرگ را پیدا کرده و رصد می کنند تا در صورتی که خطر برخورد وجود داشته باشد آنها را نابود کرده و مدارشان را منحرف کنند.(در مقاله “شهاب سنگ “ در این باره بیشتر توضیح می دهیم)

۹) خطرات تروجان ها

گفتیم که سیارک های بزرگ می توانند برای زمین بسیار خطرناک باشند از این رو دانشمندان مرتب آنها را رصد می کنند ولی وقتی این سیارک ها در نقاط L₄ و L₅ قرار بگیرند همانطور که گفته شد به تروجان تبدیل شده و بسختی قابل شناسائی هستند و این آنها را خطرناک می کند.ولی مگرنقاط L₄ و L₅ ، نقاط پایدار نیستند . موضوع مهم در این است که اگر فقط مجموعه زمین و خورشید را در نظر بگیریم این تروجان ها سر جای خود مانده و نمی توانند زمین را تهدید کنند ولی گرانش ماه و سیارات دیگر می توانند تروجان ها را حرکت داده و به سمت جو زمین روانه کند و وقتی دانشمندان متوجه می شوند که دیگر دیر شده و در آستانه برخورد قرار می گیرند . ازطرف دیگر نقاط L₄ و L₅ مکان مناسبی هستند برای قرار دادن سیارک های خطرناک به آن نقاط ، این سیارک ها چون مکان آنها شناسائی شده دیگر نمی توانند خطرناک باشند. بنابراین خطر تروجان ها تنها تا وقتی می باشد که شناسائی نشده اند و بعد از شناسائی تنها کافی است تحت نظر باشند .

۱۰)تروجان های زمین

دو تن از دانشمندان دانشگاه آتاباسکا کانادا  ، با استفاده از یک حسگر حرارتی  لحظات غروب خورشید را مورد مطالعه قرار می دادند که بر حسب اتفاق پی بردند که یک سیارک به نام TK7 2010 در یکی از نقاط لاگرانژی (L4یا L5 زمین و خورشید)گیر افتاده این سیارک ۳۰۰متری تنها یکی از اسب های تروا (تروجان)های زمین می باشد که کشف شده است . و اسب های تروای زیاد دیگری نیز وجود دارند که هنوز شناخته و کشف نشدند .

۱۱) جدول فضاپیماهای قرار داده شده در نقاط لاگرانژی

در جدول شماره ۲ ابزارهای فرار داده شده و ماموریت آنها در نقاط لاگرانژی L1 و L2 را به همراه تاریخ پرتاب و ماموریت آنها آورده شده است همچنین ابزارهائی که در آینده (نسبت به تاریخ اول اردیبهشت ۱۳۹۹- سی ام آوریل ۲۰۲۰) قرار است در مدار قرار بگیرند هم فهرست شده اند .

جدول شماره دو – فهرست ابزارهای قرار داده شده در نقاط لاگرانژی زمین و خورشید

 

۵- نقاط لاگرانژی زمین و ماه

مجموعه “زمین و ماه” هم دارای ۵ نقطه لاگرانژی می باشد که همانند نقاط لاگرانژی “زمین و خورشید” برای ما اهمیت دارند . در این بخش در مورد اهمیت نقاط لاگرانژی زمین و ماه توضیح می دهیم .

۱) موقعیت نقاط لاگرانژی زمین و ماه

فاصله ماه از زمین به طور متوسط۴۰۰ر۳۸۴کیلومتر است.فاصله نقاط لاگرانژیL₁ وL₂ از مرکز ماه۵۳۰ر۶۱کیلومتر (یکی مابین زمین و ماه و دیگری آن طرف مدار ماه) و فاصله نقطه L₁ از مرکز زمین ۸۷۰ر۳۲۲ کیلومتر و نقطه L₂ از مرکز زمین۹۳۰ر۴۴۵ کیلومتر است. (شکل ۱۱)

شکل شماره ۱۱ – مقایسه نقاط لاگرانژی ماه و زمین با نقطه L1 زمین و خورشید

نکته : مقیاس نوشته شده در شکل شماره۱۱ (در مورد فاصله ها) در شکل اصلی رسم شده دقیق بوده ولی در نمایشگر ، به اندازه نمایشگر (انواع مانیتور ، لب تاب ، تبلت و…) بستگی دارد ولی نسبت ها دقیق می باشد.
در مورد اندازه  اجسام (ماه و زمین) نسب ها هم دقیق نیست.
برای درستی مقیاس طول شکل باید ۱۸ و عرض شکل ۱۰/۵ سانتی متر باشد . 

۲) فاصله نقاط لاگرانژی ماه و زمین نسبت به زمین و خورشید  

در بررسی نقاط لاگرانژی “زمین و خورشید” ، جسم کوچکتر زمین و جسم بزرگتر ، خورشید می باشد از این رو نقاط مهم لاگرانژی(L₁ و L₂ )درنزدیکی زمین(نسبت به مدار زمین وخورشید) واقع شده است ولی در نقاط لاگرانژی “ماه و زمین” این ماه است که به عنوان جسم کوچکتر میباشد بنابراین نقاط مهم لاگرانژی در نزدیکی ماه میباشد با وجود این بعلت نزدیکتر بودن ماه نسبت به خورشید(۴۰۰برابر) نقاط لاگرانژی حتی نقاط (L₁ و L₂)در مجموعه ماه و زمین ، بسیار نزدیکتر از مجموعه زمین و خورشید می باشد .

۳) ایجاد پایگاه های فضائی در نقاط لاگرانژی

در نقاط لاگرانژی “ماه و زمین” نمی توان ابزارهای فضائی قرارداد و ازمزیت قرار دادن این ابزارها همانند نقاط لاگرانژی “زمین و خورشید” بهره مندشد ولی درعوض می توان از آن ها به عنوان پارکینگ ها و پایگاه های فضائی برای سفر به ماه و نقاط دیگر فضا استفاده کرد .
در مقاله “صعود” نشان دادیم که بخاطرجاذبه قدرتمند زمین صعود یک فضاپیما از روی زمین و سفر به فضا تا چه اندازه مشکل و پرهزینه می باشد. و بهترین روش سفر به فضا (ماه و نقاط مختلف منظومه شمسی و…تا نقاط دیگر کیهان)علاوه بر استفاده ازروش های اصولی تر،استفاده از پایگاه های فضائی(درمدار زمین و روی ماه و…)می باشد.یکی از بهترین نقاط برای ایجادپایگاه فضائی نقاط لاگرانژی ، درمجموعه “زمین و خورشید” و همچنین مجموعه “ماه و زمین ” می باشد.و دراین میان نقاط لاگرانژی (بخصوص نقاط لاگرانژی L₄ و L₅ ) مجموعه “ماه و زمین” از اهمیت بیشتری برخوردار می باشد زیرا فاصله نقاط لاگرانژی “ماه و زمین ” خیلی کمتر از مجموعه “زمین و خورشید” می باشد و بعد از مدار زمین می تواند به عنوان دومین و نزدیکترین نقطه مورد استفاده قرار گیرد .نظر به اهمیت آن در بخش بعدی در مورد پایگاه های فضائی در نقاط لاگرانژی و سفر از آن نقاط به دیگر مناطق توضیح بیشتری خواهیم داد همچنین در مقاله “ سفر به فضا “ در این باره مفصل توضیح می دهیم .

۴) قرار دادن سیارک ها

یکی دیگر از موارد استفاده نقاط لاگرانژی L₄ و L₅ هدایت و قرار دادن سیارک های خطرناک اطراف زمین میباشد که در آنجا مستقر شده و تحت نظر قرار بگیرند . نکته مهم این است که بر خلاف نقاط L₄ و L₅ درمجموعه “زمین و خورشید” که اگر جسمی قرار گیرد امکان مشاهده و دیدن آن بسیار مشکل می باشد در نقاط لاگرانژی مجموعه “ماه و زمین” این مشکل دیگر وجود ندارد .

۶- احیای میدان مغناطیسی مریخ 

نقاط لاگرانژی مجموعه “زمین و خورشید “ و  مجموعه “ ماه و زمین “ تنها نقاط لاگرانژی نیست که برای دانشمندان اهمیت دارد مجموعه های دیگر هم چه برای کاربردهای عملی و چه برای مطالعات علمی برای دانشمندان و سازمان های فضائی اهمیت دارد . در این بخش در مورد نقطه لاگرانژی L₁ در مجموعه “ مریخ و خورشید “ و اهمیت آن برای دانشمندان توضیح می دهیم .قبل از آن درمورد مریخ توضیح می دهیم .توضیحات کاملتر در مورد مریخ و حیات مریخی و…تا احیاء میدان مغناطیسی مریخ در مقاله “ مریخ “ داده خواهد شد.

۱) مریخ و حیات مریخی

مریخ (Mars) و یا بهرام چهارمین سیاره از منظومه شمسی می باشد.به دلیل و فاصله زیاد آن از خورشید (۲۲۸میلون کیلومتر) مقدار نور و گرمائی که به مریخ می رسد نصف نور و گرمائی است که به زمین می رسدبنابر این دمای تابستان درمریخ به اندازه زمستان درنقاط مختلف زمین می باشد ازطرفی جو مریخ یکصدم جو زمین بوده و تماما از دی اکسید کربن می باشد. بنابر این امکان حیات و زندگی در روی مریخ وجود ندارد ولی این که مریخ در زمان های دور گذشته پذیرای حیات بوده و نه موضوعی است که هنوز ثابت نشده است هر چند طبق بعضی یافته ها در گذشته دور جو مریخ بسیار غلیظ تر بوده و احتمال زیادی دارد که که در همان زمان ها حیات در آن وجود داشته ، ولی بخاطر از بین رفتن جو مریخ از بین رفته باشد.

۲) چرا مریخ برای بشر مهم است ؟

امروز تحقیقات و مطالعات علمی در مورد مریخ از هر سیاره دیگری در منظومه شمسی بیشتر است و علاقه عموم مردم هم به مریخ بسیار بیشتر از سیاره های دیگر می باشد ولی چرا چنین است؟
مریخ سیاره ای است که نسبت به دیگر سیاره ها از هر سیاره دیگری به زمین شبیه تر می باشد شبانه روز۲۴ ساعته (با۴۰ دقیقه اختلاف) انحراف محوری۲۴درجه(در مقابل ۲۳/۵درجه زمین)همچنین دمای مناسب ترنسبت به دیگر سیارات و…همه و همه باعث شده دانشمندان و عموم به مریخ به عنوان مکان دوم زندگی بشر نگاه کنند و پروژه مسکونی کردن مریخ یکی از اولویت های دانشمندان می باشد که درادامه توضیح می دهیم .

۳) چگونه اتمسفر مریخ نابود شد؟   

دانشمندان اعتقاد دارنددرگذشته های دور مریخ دارای حیات بوده و بخاطر گرانش کم ( ۳۸ ٪ زمین) و از بین رفتن میدان مغناطیسی (حدود ۲/۴میلیارد سال پیش میدان مغناطیسی مریخ ازبین رفت) و بدون میدان مغناطیسی بادهای خورشیدی بخش اعظم اتمسفر سیاره را نابود کرد.

۴) نقاط لاگرانژی و احیاء اتمسفر مریخ

یکی از راه های مسکونی کردن مریخ احیاء اتمسفر مریخ می باشد بنابراین برای مسکونی کردن مریخ یکی از راه های پیش رو قراردادن یک آهن ربای بسیار عظیم در نقطه لاگرانژی L₁ (فاصله این نقطه تا مریخ حدود یک میلون کیلومتراست) تا یک میدان مغناطیسی قوی برای مریخ ساخته و به این وسیله اتمسفر آن را تا حدود زیادی احیا کنند. این آهن ربای عظیم چون در نقطه لاگرانژی قرار میگیرد موقعیتش نسبت به مریخ تغییری نمی کند و درجای خود باقی می ماند این ایده که بخاطربلند پروازانه بودنش ،فعلا خارج از توانائی تکنولوژیکی بشر میباشد ولی در آینده دور امکان انجام شدنش وجود دارد .

شکل شماره ۱۲ – مریخ و آهن ربای مریخی

۷- نقاط لاگرانژی در منظومه شمسی و تروجان ها

علاوه بر مجموعه “ زمین و خورشید” و “ ماه و زمین “ و همچنین “ مریخ و خورشید “ سیاره های دیگر منظومه شمسی هم مجموعه های لاگرانژی مربوط به خودشان را دارند.مطالعه این نقاط لاگرانژی اطلاعات مفیدی به دانشمندان  نجومی وعلوم فضائی می آموزد در این بخش در مورد نقاط لاگرانژی L₄ و L₅ که ازجمله پایدار ترین نقاط لاگرانژی می باشند توضیح می دهیم .

۱) تروجان ها های سیارات و اهمیت آنها  

تروجان ها سیارک ها و اجسامی هستند که در نقاط لاگرانژی L₄ و L₅ (مجموعه های مختلف سیارات ) پنهان شده اند و دوشادوش سیاره در همان مدار به دور خورشید می چرخند و همواره فاصله و موقعیت خود را نسبت به سیاره ها حفظ می کنند . سیاره های مختلف در منظومه شمسی دارای تروجان می باشند . که تقریبا همه آنها از کمربندهای سیارکی آمده اند اهمیت مطالعه تروجان ها در این است که چون در نقاط پایدار (L₄ و L₅ (به دام افتادند از میلیاردها سال پیش بدون تغییر در همان مکان باقی ماندند و مطالعه آنها اطلاعات گرانبهائی در مورد تاریخچه تشکیل منظومه شمسی به ما می دهد .

۲) تروجان های مشتری

تروجان‌های مشتری (Jupiter trojans) اجسامی هستند که به مشتری نزدیک شده و در نقاط لاگرانژی مشتری (L₄ و L₅ (به دام اقتادند مبدا اصلی این اجسام کمربندهای سیارکی می باشد (کمربندهای سیارکی اجسام خرد و بزرگی هستند که درکمربند بین مریخ و مشتری وجود دارند) تعداد تروجان های سیاره مشتری تا سال ۲۰۱۵به ۶۱۷۸ عدد رسیدکه از همه سیاره های دیگر بیشتر میباشد این به دو دلیل می باشد.یکی نزدیکی مشتری به کمربندهای سیارکی که تعداد زیادی اجسام مختلف دارد و دیگر گرانش شدید مشتری میباشد.

 

شکل شماره ۱۳- کمربندهای سیارکی و تروجان های مشتری

 

 شکل شماره ۱۴- تصویری فانتزی از مشتری و تروجان های آن 

 ۳) تروجان های مریخ و ماجرای انهدام سیاره باستانی

مریخ ۹ تروجان دارد که بزرگ‌ترینشان تا دو کیلومتر قطر داشته (این سیارک  Eurekaنام داشته و ۳۵سال پیش کشف شد)و بقیه قطری بین ۱/۳تا ۵/ کیلومتر دارند. یکی از نکات جالب در مورد تروجان های مریخ در این است که آنها از ماده ای معدنی به نام “الیوین” ساخته شده اند که فقط در دماها و فشارهای بالا ساخته می شود . این در حالی است که تروجان های مشتری و نپتون و…هیچکدام از این ماده ساخته نشده اند و این نشان می دهد که خواستگاه تروجان های مریخ با مشتری تفاوت فاحشی دارد . اکنون دانشمندان به این اعتقاد رسیده اند که در گذشته های دور یک سیاره بزرگ به دلائل نامعلوم منهدم شده و تراجان های مریخ در واقع بقایای آن سیاره باستانی می باشد . 

شکل شماره ۱۵- تروجان های مریخ

۸- پایگاه های لاگرانژی

سفر به فضا اهمیت بسیار زیادی برای بشر دارد . از کاوش های علمی و کشف ناشناخته ها تا پیدا کردن مکانی امن برای زندگی در صورت به خطر افتادن حیات زمینی و جلوگیری از برخورد سیارک های خطرناک و دنباله دارها به زمین و… تا استفاده از معادن فضائی که میلیاردها برابر معادن موجود در روی زمین است.
واقعیت این است که بخاطر جاذبه قدرتمند زمین صعود مستقیم از روی زمین و سفر به فضا بسیار مشکل است و هزینه بسیار زیاد و سوخت فراوانی را می خواهد(در مقاله “صعود “در این باره مفصل توضیح دادیم ) ولی یکی از راه های سفر ارزان قیمت به فضا ساخت پایگاه های فضائی در نقاط مختلف فضا می باشد (در مورد سفر به قضا و فوائد آن در مقاله “سفر به فضا “ به طور کامل شرح می دهیم) پایگاه های فضائی را در نقاط مختلف (مدار زمین،مدار ماه،کره ماه و…)می توان دایر کرد که هر کدام فوائد خاص خودش را دارد ولی آنچه در این بخش در مورد آن توضیح می دهیم ساخت پایگاه های فضائی در نقاط لاگرانژی می باشد .  

۱) نخستین کوشش ها (انجمن L5)

 در سال ۱۹۸۰یک انجمن به نام انجمن L₅ تاسیس شد که هدف آن ایجاد یک پایگاه فضائی در نقطه لاگرانژی L₅ مجموعه زمین و ماه بود. طبق آنچه اعضای انجمن مطرح می کردند ساختن یک پایگاه در نقاط لاگرانژی بخضوض نقطه لاگرانژی L₅ فوائد بسیار زیادی برای فضانوردی داردو دانشمندان و متخصصان باید هر چه سریعتر این پایگاه فضائی را ایجاد کنند .

شکل شماره ۱۶- پایگاه های فضائی در نقاط لاگرانژی

۲) چرا نقاط لاگرانژی

نقاط لاگرانژی L₄ و L₅ در مجموعه ماه و زمین چند خاصیت مهم دارد. اول این که اگر جسمی در این نقاط قرار بگیرد موقعیت و فاصله اش از زمین و ماه تغییری نمی کند و بنابر این همیشه در دسترس می باشد دیگر این که مجموع نیروهای گرانشی ماه و زمین در این نقاط همدیگر را خنثی می کنند. بنابراین فضاپیمائی که از این نقاط راه بی افتد با مصرف حداقل انرژی می تواند خود را نقاط مختلف منظومه شمسی برساند .
با ساخت پایگاه فضائی فضاپیماها می توانند در این نقاط فرود آمده و تجدید سوخت کرده و با مصرف انرژی خیلی کمی به نقاط مختلف سفر کنند.همچنین می توان با مصالحی که اندک اندک از زمین به این پایگاه حمل می شود در همان پایگاه فضاپیماها را ساخته و با مصرف حداقل سوخت و هزینه به نقاط مختلف روانه کرد .

۳) نقاط دیگر لاگرانژی

نقطه لاگرانژی L₁ هم ازنقاط مهم لاگرانژی میباشد در این نقاط هم می توان پایگاه فضائی دایر کرد حسن این پایگاه در این است که جسمی که در این پایگاه قرار می گیرد حالتی ناپایدار دارد و اگر کوچکترین تغییری در موقعیتش روی دهد هر چه بیشتر از این نقطه دور می شود این می تواند یک مزیت باشد فضاپیمائی را در نظر بگیرید که از این پایگاه عازم مریخ باشد می تواند با صرف اندک انرژی خود را در مسیری بیندازد که مستقیما به سوی مریخ می رود و با روشن کرده موتورهایش در زمان خیلی کوتاه تری به مریخ برسد.در واقع فضاپیماها و سفینه های زیادی ازاین نقطه به فضا سفر کردند مثلادرسال  ۲۰۰۱ که فضاپیمای جنسيس Genesis برای مطالعه بادهای خورشیدی به فضا فرستاده شد از همین نقاط لاگرانژی استفاده کرد .
در واقع در قدم اول می توان این پایگاه های فضائی را در نقاط لاگرانژی  “ماه و زمین“ و بعد “ زمین و خورشید “ ایجاد کرد و در مراحل بعد پایگاه هائی هم در نقاط لاگرانژی مختلف منظومه شمسی از جمله مریخ و مشتری  و … ایجاد کرد و از آنجا به سهولت به مناطق مختلف منظومه شمسی و بعد فضای بین ستاره ای رهسپار شد.

۹- بزرگراه های بین سیاره ای

برای سفر به فضا و نقاط مختلف منظومه شمسی انرژی و هزینه زیادی باید انجام شود.اگر فضاپیما بخواهد به طورمستقیم از زمین پرواز کرده و به نقاط مختلف منظومه شمسی سفر کندباید این انرژی و هزینه را پرداخت کندولی راه های میانبر و روش هائی وجود داردکه فضاپیما می تواندبا حداقل انرژی ودرکوتاهترین مدت سفرهای فضائی خود را انجام دهد.به این راه ها بزرگراه های بین سیاره ای می گوینددر این بخش توضیح بسیار کوتاهی در این مورد داده و توضیحات کاملتر را در مقاله “سفر به فضا “ می دهیم .

۱) شبکه حمل و نقل بین سیاره ای

بزرگراه های بین سیاره ای ” “Interplanetary Transport Network می گویند. این مسیرها (بزرگراه ها ) ازطریق نقاط مختلف لاگرانژی در منظومه شمسی به هم متصل میشوند. اجسامی که در این مسیرها قرار بگیرند می توانند با مصرف حداقل انرژی از یک نقطه لاگرانژی به نقطه دیگر بروند.این کار درهزینه و سوخت صرفه جوئی عظیمی می کند( هزاران برابر ) ولی ابدا روش سریعی نیست بلکه روشی ارزان می باشد.برای این که بدانیم این مسیرها چگونه کار می کنند ابتدا توضیح مختصری در مورد نقاط لاگرانژی و تعادل می دهیم .

۲) نقاط لاگرانژی و تعادل

همچنان که در بخش های مختلف این مقاله شرح دادیم در هر سیستم گرانشی مرکب از دو جسم پنچ نقطه لاگرانژی وجود دارد که با نام نقاط لاگرانژی “L₁,L₂,L₃,L₄,L₅” نامیده می شوند.نقاط “L₄,L₅” نقاطی با تعادل پایدار می باشند ولی نقاط “ L₁,L₂,L₃”نقاطی با تعادل ناپایدار می باشد.(شبیه تعادل پایدار درفیزیک شکل ۱۷)

شکل شماره ۱۷- تعادل پایدار و ناپایدار در فیزیک

۳) این شبکه چگونه کار می کند؟

اساس کار بر این اصل استوار است که جسمی که در یکی ازنقاط لاگرانژی ناپایدار مثلاL₁(در یک مجموعه مثلا مجموعه زمین و ماه) قرار بگیرد با نیرو و انرژی اندکی که به آن وارد می شود بسهولت از جای خود حرکت کرده و از نقطه تعادل دور می شود حال اگر مسیر به سمت نقطه لاگرانژی دیگری (مثلا نقطهL₁ در مجموعه مریخ و خورشید) تنظیم شود جسم مورد نظر با انرژی بسیار اندکی و البته در زمان طولانی تر نسبت به روش های معمول می تواند خود را به نقطه لاگرانژی L₁ مریخ برساند و از آنجا به مریخ برود . مشکل فقط در اینجا میباشد که برای رسیدن به مریخ با استفاده از این روش و بدون مصرف انرژی دیگری هزاران سال طول می کشدمی توانیم درطول مسیر باراکت های فضاپیما مشکل سرعت را هم حل کنیم در این صورت سفر دیگر مجانی و با هزینه اندک نخواهد بود بلکه سریعتر می باشد . اگرنقاط مختلف لاگرانژی در منظومه شمسی را بهم متصل کنیم شبکه ای پیچیده از این بزرگراه ها بوجود می آید که این شبکه البته ثابت نیست و با حرکت سیارات تغییر می کند ولی جسمی که در یکی از این بزرگراه ها به طرف مقصد درحال حرکت می باشد از مسیر منحرف نمی شود .  

 شکل شماره ۱۸- تصویری فانتزی از بزرگ راه های بین سیاره ای

۱۰ – خلاصه مطلب

دو جسم بسیار بزرگ را که جاذبه قابل ملاحظه ای داشته باشند (ستاره ها و سیاره ها و…که ما در این مقاله آنها را اجسام عظیم مینامیم)در نظرگرفته و یک جسم کوچک را (که در اینجا آن راجسم ریز یا ذره مینامیم) را هم درنظر می گیریم به گونه ای که این جسم ریز نیروی جاذبه قابل ملاحظه ای درمقابل اجسام عظیم نداشته باشد(از جاذبه اش صرف نظر می کنیم).نیروی جاذبه ای که ازطرف اجسام عظیم به جسم کوچک وارد میشود بستگی به فاصله ای داردکه جسم ریز(ذره) با اجسام عظیم دارد. ولی پنج نقطه وجود دارد که در آن نقاط  نیروی جاذبه ای که از طرف اجسام عظیم به ذره وارد می شود برابر است این نقاط را نقاط لاگرانژی می نامند. در این مقاله در مورد نقاط لاگرانژی و خواص آن توضیح دادیم . در این بخش کلیه مطالبی را که در این مقاله آوردیم خلاصه می کنیم .

۱)مروری به مقاله های فصل گرانش

بی شک گرانش یکی از مهمترین نیروهای طبیعت است بدون نیروی گرانش هیچ ستاره و سیاره…بوجود نمی آمد و جهان شکل نمی گرفت.ازابتدای خلقت جهان نیروی گرانش درحال ساختن و ساماندهی جهان ما بوده ، درک چگونگی شکل گیری کهکشان ها و ستارگان و سیارات و …همه اجرام سماوی و درک حرکت آنها بدون شناخت نیروی گرانش امکان پذیر نیست.درفصل گرانش در باره بسیاری از ابعاد نیروی گرانش توضیح داده و می دهیم . برای مطالعه کامل مقاله های فصل گرانش و دسترسی به لینک ها به بخش اول مراجعه کنید .

۲)نقاط لاگرانژی چیست؟

نقاط لاگرانژی اهمیت بسیار زیادی در فیزیک و نجوم و فضانوردی دارد مهمترین اهمیت نقاط لاگرانژی در این است که اگر یک ذره درنقاط لاگرانژی دو جسم عظیم قرار بگیرد موقعیت آن نسبت به دو جسم تغییری نمی کند و این مسئله از بسیاری جهات اهمیت دارد در این بخش ابتدا نقاط لاگرانژی را تعریف کرده و در مورد ابعاد محتلف آن توضیح می دهیم. برای مطالعه کامل به بخش دوم (۲-نقاط لاگرانژی چیست؟) مراجعه کنید.

۳)محاسبه نقاط لاگرانژی

در بخش سوم (۳-محاسبه نقاط لاگرانژی) فاصله دو جسم عظیم را از نقاط لاگرانژی محاسبه کرده و فرمول های آن را ارائه می دهیم و در انتها در جدول شماره یک فاصله نقاط لاگرانژی L1 و L2 را در منظومه شمسی ارائه می دهیم . لازم به ذکر است به علت پیچیدگی اثبات فرمول ها از ارائه اثبات فرمول ها خود داری کرده و فقط فرمول ها را ارائه می کنیم .

۴) نقاط لاگرانژی زمین و خورشید

نقاط لاگرانژی بخصوص نقاط لاگرانژی(“زمین و ماه “ و “خورشید و زمین“)برای ستاره شناسان ، قضانوردان و… سازمان های فضائی اهمیت بسیار زیادی دارد . مطالعه نقاط لاگرانژی از چند نظر اهمیت دارد. اول از نظر فوائد و استفاده ای که از این نقاط می شود کرد و دیگر خطرات و تهدیداتی که نقاط لاگرانژی می توانند برای زمین داشته باشند و… در بخش چهارم (۴-نقاط لاگرانژی زمین و خورشید) در مورد فوائد و خطرات نقاط لاگرانژی مجموعه “زمین و خورشید “ توضیح داده و در انتها جدول ابزارها و وسائل قرار داده شده در نقاط مختلف لاگرانژی را در جدولی فهرست می کنیم . همچنین در این بخش در مورد خطراتی که از جانب سیارک های
پنهان شده در نقاط لاگرانژی (L4,L5) که تروجان نامیده می شود توضیح کوتاهی می دهیم .

۵)نقاط لاگرانژی زمین و ماه

مجموعه “زمین و ماه” هم دارای ۵ نقطه لاگرانژی می باشد که همانند نقاط لاگرانژی “زمین و خورشید” برای ما اهمیت دارند.با وجودی که نصب تلسکوپ ها و ابزارآلات نجومی درنقاط لاگرانژی مجموعه “ماه و زمین ”  مانند نقاط لاگرانژی  مجموعه “ زمین و خورشید “ کاربردی ندارد ولی از این نقاط استفاده های دیگری می توان کرد . مهمترین استفاده ایجاد پایگاه لاگرانژی برای سفر آسانتر به فضا می باشد . در بخش پنجم (۵- نقاط لاگرانژی زمین و ماه ) در این باره توضیح می دهیم .

شکل شماره ۱۹ – تصویری فانتزی از یک پایگاه فضائی در کره ماه

۶) احیای میدان مغناطیسی مریخ 

نقاط لاگرانژی مجموعه “زمین و خورشید “ و  مجموعه “ ماه و زمین “ تنها نقاط لاگرانژی نیست که برای دانشمندان اهمیت دارد مجموعه های لاگرانژی دیگر هم چه برای کاربردهای عملی و چه برای مطالعات علمی برای دانشمندان وسازمان های فضائی اهمیت دارد.یکی از این مجموعه ها مجموعه لاگرانژی “مریخ وخورشید“ می باشد. امروزه دانشمندان اعتقاد دارند از بین رفتن جو مریخ بخاطر گرانش کم مریخ و دیگر نابودی میدان مغناطیسی مریخ در ۴/۲ میلیارد سال پیش بود بنابر این طی طرحی جاه طلبانه ناسا درصدد است با گذاشتن یک آهنربای بسیار بزرگ درنقطه لاگرانژیL₁ مریخ یک میدان مغناطیسی مصنوعی برای احیاء میدان مغناطیسی مریخ بوجود بیاورد. دربخش ششم (۶- احیای میدان مغناطیسی مریخ)در این باره توضیح میدهیم .

شکل شماره ۲۰ – تصویری فانتزی از مریخ ، بعد از احیاء زندگی در مریخ

۷)نقاط لاگرانژی در منظومه شمسی و تروجان ها

نقاط لاگرانژی” L₄ و L₅ “در مجموعه های لاگرانژی سیارات منظومه شمسی ازجمله پایدار ترین نقاط لاگرانژی  هستند از این رو به مرکز تجمع سیارک هائی تبدیل شده اند که دوشادوش سیارات منظومه شمسی در همان مدار سیارات به دور خورشید می چرخند . این سیارک ها و اجسام در اصطلاح تروجان نامیده می شوند . در بخش (۷- نقاط لاگرانژی در منظومه شمسی و تروجان ها )در این مورد توضیح می دهیم . 

۸)پایگاه های لاگرانژی

سفر به فضا اهمیت بسیار زیادی برای بشر دارد ولی صعود مستقیم از روی زمین و سفر به فضا سوخت و هزینه گزافی را می طلبد و یکی از روش های کاهش هزینه های سفر به فضا ایجاد پایگاه های فضائی در نقاط مختلف می باشد با استفاده از این پایگاه ها سفر به فضا به هزینه و سوخت بسیار کمتری انجام می شود . این پایگاه ها را در نقاط مختلف می توان ایجاد کرد و یکی از بهترین مناطق برای ایجاد پایگاه های فضائی نقاط لاگرانپی بخصوص نقاط لاگرانژی (L4,L5) در مجموعه لاگرانژی ماه و زمین می باشد . در بخش هشتم (۸- پایگاه های لاگرانژی)در مورد اهمیت ایجاد پایگاه های فضائی در نقاط لاگرانژی توضیح می دهیم.

۹)بزرگراه های بین سیاره ای

برای سفر به فضا و نقاط مختلف منظومه شمسی انرژی و هزینه زیادی باید انجام شود. ولی روش هائی وجود دارد که می توان به کمک آنها با هزینه و سوخت خیلی کمتری عازم فضا شد این روش ها استفاده از بزرگراه های بین سیاره ای می باشد. دربخش نهم(۹-بزرگراه های بین سیاره ای)در این مورد توضیح می دهیم .

برای مطالعه سایر مقاله های نجومی روی شکل زیر کلیک کنید.

برای مطالعه مقاله های روانشناسی اینجا  را کلیک کنید .

عکس های طبیعت, طبیعت خوانسار , شکوفه های بهاری  , گلستان کوه ,دانلود آلبوم های کامل بهترین و زیباترین عکس ها ,آلبوم هائی با صدها عکس کیفیت بالا ,  در هیچ کجای اینترنت این عکسها را پیدا نمیکنید , عکس هابدون استفاده از تکنیک های فتوشاپ تهیه شده , کاملا طبیعی 

برای آموزش کامل و حرفه ای گوگل مپ روی شکل زیر کلیک کنید

همه جیز در مورد گوگل مپ

۱) هر گونه اظهار نظر را در فرم اظهار نظر کاربران وارد کنید .
۲) نظرات بعد از تایید مدیریت نشان داده می شود .
۳) با انتقادات و پیشنهادات سازنده خود ما را هرچه بیشتر  همراهی کنید . مدیریت از انتقادات و پیشنهادات سازنده شما استقبال میکند .
۴) نوشته های قرمز پر رنگ ارجاع به لینک هستند که هنوز لینک آنها قرار داده نشده است ( هنوز صفحه آنها منتشر نشده است )
۵) نوشته های آبی پر رنگ ارجاع به لینک هستند که لینک آنها قرار داده شده است (صفحه آنها منتشر شده است )
۶) هرگونه بهره برداری : کپی تمام و یا قسمتی از مطالب این سایت بدون ارجاع منبع آن ممنوع می باشد .
۷) تکثیر فایل های Pdf با ذکر منبع آزاد ولی فروش آن تحت هر عنوان و با ذکر منبع هم ممنوع می باشد.