مکانیک مداری و قوانین کپلر

مکانیک مداری یا اخترپویاشناسی (Astrodynamics) شاخه‌ای از علم مکانیک است که به حرکت اجرام آسمانی (کهکشان ها تا ستارگان و سیارات و قمرها و…) و مدارهائی که بر اثر گرانش متقابل یکدیگر تشکیل می دهند می پردازد. حرکت اجرام سماوی بر اساس قانون جاذبه عمومی نیوتن و همچنین قوانین کپلر(که بر گرفته از همان قانون گرانش جهانی است)می باشد.مکانیک مداری علاوه بر توجیه مدارهای اجرام سماوی کاربرد گسترده ای هم در علم فضانوردی دارد . برای فرستادن فضاپیماها (با سرنشین و بدون سرنشین) به اعماق فضا همچنین در مدار قرار دادن ماهواره ها نیازمند این علم هستیم . در این مقاله ابتدا در مورد تاریخچه مکانیک مداری و قوانین کپلر و کاربردهای آن مفصل توضیح می دهیم . ولی قبل از آن توضیح کوتاهی راجع به گرانش و تاریخچه آن می دهیم .
قبل از مطالعه این بخش مقاله “ قانون جاذبه عمومی نیوتن“ را حتما مطالعه کنید .

۱- مختصری از گرانش

قبل از توضیح در موردحرکات مداری بهتر است در مورد گرانش و قانون جاذبه عمومی توضیحات مختصری بدهیم برای توضیحات کاملتر به لینک مقاله هائی که گذاشتیم (با رنگ آبی) مراجعه کنید .

۱) تاریخچه گرانش قبل از نیوتن

از دوران باستان برای بشر همواره سوال بود که چرا همه اشیا روی زمین سقوط می کنند ولی ماه و خورشید و ستارگان روی زمین سقوط نمی کنند؟ امروزه این سوال خیلی احمقانه به نظر می آید ولی در آن زمان که علم هنوز دوران کودکی خود را طی می کرد و مردم آن دوران هیچ تصوری از زمین و فضا و جاذبه نداشتند همیشه جای سوال بود.آنها تصور می کردند که زمین درمقایسه با ستارگان و ماه و خورشید بسیار وسیع و بزرگ است و ستارگان خیلی کوچک و نزدیک هستند که مانند یک سنگ و یا گلوله آتشین در روی زمین سقوط کنند خنده دار تر این که می پرسیدند که اگر زمین گرد و کروی می باشد چگونه در فضا معلق می باشد سقوط نمی کند( کچا سقوط کند ؟!! ) همچنین حرگت هماهنگ همه ستارگان از شرق به غرب برای آنها یک معما بود .
براین اساس بطلمیوس دانشمندیونانی (۹۰–۱۶۸ میلادی) نجوم بطلمیوسی را پایه گذاری کرد که بر اساس آن تمام ستارگان به کره ای به نام کره آسمان چسبیده اندو این کره (که مرکز آن زمین است)گرد زمین می چرخد همچنین ماه و خورشیدو سیارات هم روی کره های جداگانه قرارداشته و همگی گردزمین می چرخند۱۵۰۰سال طول کشیدتا کپرنیک منجم لهستانی (۱۴۷۳تا ۱۵۴۳)درکتابی به نام “گردش افلاک آسمانی “ توانست بطلان آن را نشان دهدو ثابت کندکه کره آسمان وجودنداشته و حرکات هماهنگ ستارگان نتیجه گردش زمین به دور خودش می باشد ستارگان هم از زمین بسیار دوربوده و گرد زمین نمی چرخند همچنین زمین و سیارات دیگر (۵سیاره شناخته شده)همگی گرد خورشید می چرخند.با وجود مخالفت سران کلیسا دانشمدان زیادی ( از جمله گالیله) از نظرات وعقائد کپرنیک حمایت کردند.گالیله دانشمند ایتالیائی (۱۵۶۴تا ۱۶۴۲)همچنین سنگ بنای علوم را با تجربه و آزمایش بنا کرد. و کمک زیادی به علم نجوم و سایر علوم تجربی کرد.
دانش ستاره شناسی (همچنین سایر دانش ها) به مرحله بسیار حساس و مهمی رسیده بود و روز به روز بر دایره معلومات بشر افزوده می گشت.کپلر توانست سه قانون مهم حرکت سیارات را با توجه به رصدهای تیکوبراهه در آورده و همین مسئله راهی را در اختیار نیوتن گذاشت تا بتواند قانون گرانش عمومی را فرمول بندی کند . برای مطالعه کامل در این مورد به مقاله “تاریخچه گرانش  “مراجعه کنید .

۲)زندگینامه نیوتن

سِر ایزاک نیوتن در ۲۵دسامبر۱۶۴۲در روستای « وولستورپ » از توابع شهرلینکولنشیز انگلیس بدنیا آمد. نیوتن کودکی سختی داشت سه ماه قبل از بدنیا آمدنش یتیم شد و پدرش را از دست داد و مادرش در سه سالگی با یک کشسش ثروتمند ازدواج کرد و او را از خودش راند ولی این مانع از این نشد که مراحل ترقی را طی نکند بعلت هوش فوق العاده در ۱۸سالگی یعنی در سال ۱۶۶۱واردکالج ترینیتی (وابسته به دانشگاه کمبریج )شد و در سال ۱۶۶۵بعلت طاعون کالج تعطیل شد و نیوتن در این مدت روی گرانش و فیزیک نور و..کارکرد ( همچنین روی حساب دیفرانسیل و انتگرال و کیمیاگری و…)سرانجام در ۵ ژوئیه ۱۶۸۷نتیجه یافته های خود را در کتابی به نام “ اصول ریاضی فلسفه طبیعت “ با سرمایه ادموند هالی که او هم دانشمند و دوست نیوتن بود منتشر کرد و نام خود را جاودانه کرد . برای توضیح کامل زندگینامه نیوتن به مقاله “ زندگینامه نیوتن “ مراجعه کنید . 

۳) نیوتن چگونه قانون جاذبه عمومی را کشف کرد ؟

طبق یک داستان نیوتن روزی در باغ مادری خود در حال گردش بود که ناگهان سیبی از درخت افتاده و او را به فکر وامی داردوپی به قانون گرانش جهانی می برد این داستان بسیار معروف است و حتی در محل خانه مادری نیوتن امروزه این درخت سیب موجود بوده و از آن حفاظت می شود و به یک جاذبه توریستی تبدیل شده است از طرف دیگر نیوتن با یادآوری یک بازی بچه گانه که در آن بچه ها سطل آبی را چرخانده و کسی که بتواند در حین چرخاندن سطل کمترین آب را از سطل بریزد برنده بازی می شود پی برد که نیروی گریز از مرکز با نیروی گرانش همدیگر را خنثی کرده و از این رو سیاره ها به درون خورشید سقوط نمی کنند . همچنین با اندازه گیری نیروی گریز از مرکزی که ماه را در مدارش به دور زمین نگه می دارد پی برد که نیروی جاذبه متناسب با عکس مجذور فاصله می باشد و سرانجام توانست فرمول نیروی گرانش جهانی را بدست آورده و نام خود را در تاریخ علم جاودانه کند . برای مطالعه کامل این که نیوتن چگونه توانست فرمول گرانش جهانی را بدست بیاورد به مقاله “ نیوتن و گرانش “ مراجعه کنید .

۴) قانون جاذبه عمومی نیوتن

قانون گرانش جهانی یا قانون جاذبه عمومی نیوتن به این شکل بیان می شود :
«بین هر دو جسم نیروی جاذبه ای وجود دارد که نسبت مستقیم با جرم آن دو جسم داشته و نسبت عکس با مجذور فاصله دارد »

شکل شماره ۱ – قانون جاذبه عمومی نیوتن

در این فرمول “G” ثابت گرانش نام دارد که ۶۰ سال بعد از مرگ نیوتن (در سال ۱۷۹۸)توسط هنری کاوندیش (دانشمند اهل ساردنی ) بدست آمد . 
یکی از مهمترین مسائلی که نیوتن نشان داد و همیشه روی آن تاکید می کرد این بود که گرانش یک جسم کروی به گونه ای می باشد که انگار تمام جرم جسم در مرکز کره متمرکز شده است همچنین بر جسمی که داخل پوسته کروی قرار دارد هیچ نیروئی وارد نمی شود ( قضیه های پوسته )
برای مطالعه کامل در مورد گرانش به مقاله “قانون جاذبه عمومی نیوتن” مراجعه کنید .

۲- تاریخچه مکانیک مداری

کپلر و نیوتن و همینطور ادموند هالی پیشگامان مکانیک مداری بودند و توانستند راه را برای شناسائی مدارهای اجرام آسمانی باز کنند . بعد از این سه بزرگوار افراد دیگری نیز در این زمینه پیشگام شدند و توانستند دانش ما را درزمینه مکانیک سماوی گسترش دهند در این بخش در مورد مکانیک مداری و سیرتحول آن توضیح مختصری می دهیم توضیح بیشتر در این زمینه در بخش های دیگر این مقاله و مقاله های آینده داده می شود .

۱) مکانیک مداری در گذشته

در زمان های گذشته بشر هیچگونه درکی از حرکت اجرام آسمانی نداشت آنها از این که همه ستارگان و اجرام آسمانی به صورت هماهنگ از شرق به غرب در آسمان حرکت می کردند به این نتیجه رسیدند که ستارگان همچون نقاطی بر کره آسمان دوخته شدند و همراه کره آسمان به دور زمین می چرخند و بعد مسئله جابجائی تعدادی از ستارگان در زمینه ستارگان ثابت پیش آمد و بسیاری از اقوام از تعجب و وحشت حتی آنها را پرستش هم کردند ( پرستش میترا و آناهیتا و… ماه و خورشید و سایر سیارات ) سرانجام نظریه زمین مرکزی را بنیان نهادندتا بعد از ظهور کپرنیک و شروع رنسانس در اروپا به کمک ستارشناسان و دانشمندان دیگر( همچون گالیله و کپلر و نیوتن و…) حقایق اندک اندک روشن و مشخص شد . 

۲) تیکو براهه و کپلر

تیکو براهه یکی از همین ستارشناسان و رصدگران بود او علاقه زیادی به ثبت رصد داشت و توانست موقعیت بسیاری از اجرام سماوی را با رصدهای مستقیم بدست آورده و در جداولی ثبت کند او جداول بسیار با ارزشی جمع آوری کرد که پس از مرگش در اختیار دستیارش کپلر قرار گرفت تا به وسیله آن سه قانون بسیار مهم خود را وضع کند . راجع به زندگینامه تیکو براهه و کپلر در بخش چهارم در مقاله “تاریخچه گرانش  “توضیح کافی داده  و  همچنین در بخش پنجم تحت نام «۵- قوانین کپلر »  توضیحات بیشتری داده می شود .   

۳) نیوتن و قانون جاذبه عمومی

سرانجام نوبت نیوتن رسید . نیوتن با وضع قانون گرانش جهانی نه تنها مهر تاییدی بر قوانین کپلر زد بلکه توانست با استفاده از قانون گرانش جهانی و حساب دیفرانسیل و انتگرال این قوانین را ثابت کند . در مورد نیوتن و این که چگونه موفق به کشف قانون گرانش جهانی شد در مقاله های مختلف این فصل (فصل گرانش ) توضیح کافی داده شده است برای مطالعه به مقاله های “زندگینامه نیوتن “ و “ نیوتن و گرانش “مراجعه کنید . 

۴) ادموند هالی

ادموند هالی در هشت نوامبر ۱۶۵۶در هاگرستون لندن در یک خانواده اشراف‌زاده و متمول چشم به جهان گشود. هالی در سال ۱۶۷۳به دانشگاه اکسفورد رفت ولی در سال ۱۶۷۶تحصیلات خود را تمام نکرد و برای ماجراجوئی به سنت هلنا رفت (در مورد زندگینامه هالی در مقاله های آینده توضیح خواهیم داد) هالی کشفیات زیادی در زمینه نجوم و مکانیک مداری انجام داده است . یکی از مهمترین کارهای هالی در این زمینه تعیین مدار دنباله دارها می باشد او اعتقاد داشت ستاره های دنباله دار نیز مانند سیارات مداری بیضی دارند و بنابراین برمی گردند . او بخصوص روی دنباله داری تمرکز کرد که امروزه به نام دنباله دار هالی شناخته می شود و هر ۷۵ سال یک بار برمی گردد . و بر اساس قوانین مکانیک مداری پیش بینی کرد که در سال ۱۷۵۷ باز می گردد (پیش بینی که به وقوع پیوست) همچنین هالی مشوق و ناشر کتاب “پرینکیپیا” نیوتن بود .

۵) اویلر و مکانیک مداری

لئون‌هارد اُویلر (Leonhard Euler) در ۱۵ آوریل ۱۷۰۷ در سوئیس بدنیا آمد او یکی از معروفترین و برجسته ترین ریاضیدانان جهان بود شهرت او بیشتر در روشی به نام روش اویلر در حل معادلات دیفرانسیل و انتگرال می باشد . وی همچنین در مکانیک، دینامیک سیالات، اپتیک و نجوم شهرت دارد.
در مورد زندگینامه اویلر در مقاله “ریاضیدانان بزرگ“ در آینده توضیح کامل خواهیم داد .
برای حل بسیاری از مسائل در ارتباط با مکانیک مداری و تعیین مدارهای بعضی از اجسام سماوی نیازمند حل معادلات دیفرانسیل و انتگرال بود و پیچیدگی بعصی مدارها کار را برای ستاره شناسان و ریاضیدانان مشکل می کرد . اویلر با روشی که به نام او روش اویلر شناخته می شود توانست بسیاری از این معادلات را حل کند . وی شخصا با استفاده از روشی که در حساب دیفرانسیل و انتگرال تعیین کرده بود توانست مدارهای دنباله دارها و سیارات و بسیاری از اجرام نجومی را تعیین کرده و به توسعه جداول نجومی کمک شایانی بکند .

شکل شماره ۲ – لئون‌هارد اُویلر

۶) قانون “بُد”

قانون “بُد” یا قانون تیفوس “بُد” یکی از مهمترین قانون ها در مکانیک مداری می باشد که امروزه اهمیت خود را از دست داده است این قانون توسط دو منجم به نام های“یوهان تیتیوس “و“یوهان بوده “وضع شدو در این قانون فرمولی ارائه شده که بر اساس آن فرمول فاصله سیاره های منظومه تا خورشید را می توانیم حساب کنیم.  

 همانطور که دیده می شود طبق قانون بُد باید بین مدار مریخ و مشتری باید سیاره ای وجود داشته باشد از همین رو کوشش ها برای کشف سیاره جدید آغاز شدکه در قسمت بعدی در مورد آن توضیح می دهیم . همچنین در مقاله “ سیارات“  در مورد سیارات منظومه شمسی و چگونگی کشف آنها مفصل توضیح می دهیم .

 جدول شماره ۱ – قانون بُد و فاصله سیارات از خورشید 

 

 ۷) قانون “بُد” و کشف سیارات جدید

قانون بُد فاصله تعدادی از سیارات را از خورشید بدرستی نشان می داد (البته در مورد سیارات درونی مقدار دقیقی بود ولی هرچه جلوتر می رفت دقت آن کمتر می شد) ولی تعدادی از این سیاره ها در جدول وجود نداشتند ( بین مشتری و مریخ و همچنین بعد از زحل ) بنابراین تلاش برای کشف این سیارات آغاز شد . در سال ۱۷۸۱ ویلیام هرشل توانست اورانوس را در محل تعیین شده کشف کند .
بعد از کشف اورانوس ، در اول ژانویه ۱۸۰۱ منجمی سیسیلی به نام  “جوزپه پیاتسی” موفق به کشف سیاره کوتوله سِرِس شد.(در مورد سیاره های کوتوله در مقاله “ پلوتون و سیاره های کوتوله “ توضیح کامل خواهیم داد) بعد از آن اجرام دیگری هم در همان نواحی کشف شدند که بعدها آن ناحیه به نام کمربند سیارکی نامیده شدند . 

۸) کارل فریدریش گاوس  Carl Friedrich Gauss

کارل فریدریش گاوس در تاریخ ۳۰آوریل ۱۷۷۷ از پدر و مادری فقیر در خانه‌ای حقیر در شهر براون‌شوایگ در آلمان متولد شد . هوش و نبوغ او در همان کودکی آشکار شد و باعث حمایت دوک فردیناند برونسویک (یکی از اشراف آلمان)شد و با هزینه دوک در کالج کارولین و دانشگاه گوتینگن آلمان پذیرفته شد و بخاطر تحقیقات و کشفیات بزرگی که در ریاضیات داشت به او لقب «شاهزادهٔ ریاضی‌دانان» دادند بی شک گوس تاثیر گذارترین ریاضی دانان جهان می باشد .
کشفیات و کارهای گاوس را در زمینه مکانیک مداری در قسمت بعد شرح می دهیم . در مورد زندگینامه گاوس در مقاله“ریاضیدانان بزرگ“ در آینده توضیح کامل خواهیم داد .

شکل شماره ۳ – فریدریش گاوس

۹) گاوس و کشف مدار سرس

بعد از موقعی که “جوزپه پیاتسی” سیاره کوتوله سرس را کشف کرد سرس بیش از حد به خورشید نزدیک شده بود و امکان مشاهده دوباره آن امکان نداشت ولی تا یک سال دیگر قابل مشاهده بود ولی در پایان این مدت تعغیر مکان داده و امکان مشاهده دوباره آن بسیار مشکل بود و باید مکان دقیق آن روشن می شد . گاوس که در این زمان بیش از ۲۴ سال نداشت با استفاده از فرمول های ریاضی توانست روشی برای محاسبه مدار سرس پیدا کند و مسیر حرکت سرس را پیش بینی کند از این رو بعد از این که سرس به اندازه کافی از خورشید دور شد طبق پیش بینی های گاوس ستاره شناسان توانستند دوباره مکان سرس را در همان مکانی که گاوس پیش بینی کرده بود پیدا کنند .

۱۰) مکانیک مداری و شروع عصر فضا

با شروع سفرهای فضائی ( عصر فضا ) اهمیت مکانیک مداری بیش از بیش آشکار شد از آن تاریخ به بعد مکانیک مداری به عنوان زیر شاخه مکانیک شناخته شد . زیرا بعد از پرتاب فضاپیماها  و کاوشگرها به فضا برای جلوگیری از مشکلات پرواز فضاپیماها ، مانورهای مداری ، تعغیر مسیر پرواز فضاپیماها و… نیازمند برنامه ریزی دقیق و پیش بینی مدار اجرام منظومه شمسی می باشد که خود بر اساس قوانین مکانیک مداری عمل می کند . همچنین در نسبیت عام نیز تئوری های دقیقی در مورد قوانین نیوتن از جمله مدارها وجود دارد که در مقاله “ گرانش و نسبیت “در مورد آن توضیح می دهیم .
در مورد مانورهای مداری در مقاله “ گرانش و انرژی “ توضیح مفصل می دهیم .

۳- مختصری از مقاطع مخروطی

یکی از مسائلی که “ قانون گرانش جهانی “ باید حل می کرد مسئله حرکت سیاره ها (گرد خورشید و یا ستاره مادر)و ستاره ها (ستاره های دوتائی و چند تائی و… همچنین حرکت هماهنگ ستاره ها حول مرکز کهکشان )و قمرها ( حول سیاره مادر ) و… اجرام نجومی بود .کپلر اولین بار اعلام کرد که مدار حرکت سیاره ها به دور خورشید بجای دایره بیضی می باشد . نیوتن نشان داد که مدار حرکت یک جسم به دور یک جسم دیگر نه تنها بیضی بلکه می تواند یکی از مقاطع مخروطی (دایره ، بیضی ، سهمی و هذولی ) باشد . بنابراین قبل از توضیح حرکات مداری (حرکت دو یا چند جسم حول مرکز جرم مشترک) توضیح کوتاهی در مورد مقاطع مخروطی می دهیم .

۱) هرم

اگر یک شکل دو بعدی بسته (مربع و مثلث و…تا اشکال غیر خاص مانند یک منحنی بسته)دریک صفحه داشته و همچنین نقطه ای درفضای سه بعدی خارج شکل درنظر بگیریم و از تمام نقاط شکل بسته به آن نقطه وصل کنیم یک شکل سه بعدی بدست می آید که هرم نامیده می شود.
برای مطالعه کامل در مورد هرم به مقاله  هرم“ از همین سایت مراجعه کنید .

شکل شماره ۴ – هرم شش وجهی

۲) مخروط

مخروط در واقع نوعی هرم می باشد که قاعده آن به جای چند ضلعی دایره می باشد . همچنین می توان مخروط را از چرخش یک مثلث قائم الزاویه حول یکی از اضلاعش بدست آورد . مهمترین تفاوت هرم با مخروط در این است که قاعده هرم می تواند یک چند ضلعی(کوژ یا کاو) و یا یک منحنی بسته مانند دایره (بخاطر همین مخروط نوعی هرم است) یا بیضی یا هر منحنی دیگری باشد ولی قاعده مخروط فقط یک دایره کامل است .
برای مطالعه کامل در موردمخروط به مقاله “ مخروط “ از همین سایت مراجعه کنید .

شکل شماره ۵ – قسمت های مختلف مخروط

۳) مخروط دوار

اگر دو خط متقاطع در یک صفحه داشته باشیم و یکی از خطوط دور خط دیگر شروع به دوران کند دو مخروط بی انتها بدست می آید که از طرف راس به هم چسبیده اند . خطی که دوران حول آن صورت گرفته خط محور مخروط و خطی که دوران کرده مولد مخروط نامیده می شود از آنجائی که این دو مخروط انتها ندارند حجم و قاعده و مساحت و مساحت جانبی نمی توان در مورد آن تعریف کرد . و این مهمترین تفاوت مخروط دوار با مخروط معمولی می باشد .

شکل شماره ۶ – مخروط دوار و قسمت های مختلف آن

۴) مقاطع مخروطی

در صورتی که یک مخروط دوار در فضا داشته باشیم و صفحه ای این مخروط را قطع کند بسته به این که چگونه و با چه زاویه ای مخروط را قطع کند شکل های مسطحی در صفحه پدید می آید که به آن مقاطع مخروطی می گویند. چهار شکل هندسی را به عنوان مقاطع مخروطی می شناسیم که عبارتند از : دایره ، بیضی ، سهمی و هذولی ( شکل های شماره ۷ و ۸ )
برای مطالعه در مورد مقاطع مخروطی به مقاله “ مقاطع مخروطی “ مراجعه کنید . 

شکل شماره ۷ – کلیه مقاطع مخروطی

شکل شماره ۸ – مقاطع مخروطی دایره ، بیضی ، سهمی و هذولی

۵) معادله مقاطع مخروطی

مقاطع مخروطی اهمیت بسیار زیادی در تکنولوژی و علوم مختلف دارد برای همین به یکی از مهمترین مباحث هندسه تبدیل شده است .همچنان که در بخش های بعدی این مقاله توضیح می دهیم مسیر حرکت اجرام سماوی بر اثر گرانش و بسته به سرعت اولیه و نیروی گرانشی که وارد می شود یکی از مقاطع مخروطی می باشد . مقاطع مخروطی مانند هر شکل دیگری در صفحه مختصات ( دکارتی و یا قطبی و… ) دارای معادله ای هستند که این معادله را معادله مقاطع مخروطی می نامیم . معادله مقاطع مخروطی را به صورت معادله گسترده ، معادله کانونیک و یا معادله قطبی می نویسند .
برای مطالعه کامل در مورد انواع معادله مقاطع مخروطی و تبدیل آنها به یکدیگر به مقاله “ معادله مقاطع مخروطی “ از همین سایت مراجعه کنید .

۶) معادله قطبی مقاطع مخروطی

نیوتن برای اثبات قوانین کپلر از معادله قطبی مقاطع مخروطی استفاده کرد بنابراین در این مقاله قطبی مقاطع مخروطی را در نظر می گیریم . معادله قطبی مقاطع مخروطی از این قرار است .

 

شکل شماره ۹ – معادله قطبی انواع مقاطع مخروطی

۴- توپ نیوتن و مکانیک مداری 

در این بخش به مسیر و معادله پرتابه ای می پردازیم که از سطح زمین رو به بالا و یا از بالای یک کوه بلند به صورت افقی شلیک می شود می خواهیم بدانیم مسیرحرکت پرتابه به چه صورت است . لازم به ذکر است در تمام مسائلی که در این بخش در مورد مسیرحرکت پرتابه ها ذکر می کنیم از مقاومت هوا صرف نظر می کنیم .

۱) توپ نیوتن

نیوتن در کتاب اصول خود توپ بسیار بزرگ و پرقدرت را ذکر کرده که بالای یک کوه بلند برده و لوله آن را به صورت افقی ( موازی با سطح زمین ) گرفته و اقدام به شلیک می کنیم می خواهیم ببینیم مسیر گلوله
 توپ با توجه به سرعتی که به گلوله  می دهیم به چه صورت می باشد .

 شکل شماره ۱۰ – توپ نیوتن در بالای کوه ۱) سقوط روی زمین

در صورتی که گلوله توپ سرعت کمی داشته باشد(کمتر از ۷/۹کیلومتر درثانیه) بعد ازطی مسافتی به روی زمین سقوط می کند (در نقطه A )و اگر با سرعت بالاتری شلیک شود مسافت بیشتری را روی زمین می پیماید ولی باز هم سقوط می کند (نقطه B )

۲) قرار گرفتن در مدار دایره ای

به همین ترتیب هر بار با افزایش سرعت گلوله مسافت بیشتری را روی زمین می پیماید تا سرعت گلوله به حدود ۷/۹ کیلومتر در ثانیه برسد و در این صورت گلوله در مدار دایره ای به دور زمین می چرخد . سرعت ۷/۹ کیلومتر بر ثانیه حداقل سرعت مداری می باشد که گلوله را در مدار زمین نگه می دارد به عبارت دیگر گلوله در روی زمین سقوط نمی کند ولی در مدار دایره ای بر گرد زمین می چرخد و برای همیشه در مدار زمین باقی می ماند . ( شکل شماره ۸ مسیر دایره زرد )

۳) قرار گرفتن در مدار بیضی

اگر سرعت گلوله از ۷/۹ کیلومتر در ثانیه بگذرد مدار گلوله به دور زمین به جای دایره بیضی می شود و هرچه سرعت از ۷/۹ کیلومتر در ثانیه بیشتر شود بیضی کشیده تر و هرچه به ۷/۹ کیلومتر در ثانیه نزدیکتر شود بیضی به دایره نزدیکتر می شود . ( شکل شماره ۸ مسیر بنفش )

۴) مدار سهمی و سرعت فرار

اگر سرعت گلوله به ۱۱/۲کیلومتر در ثانیه برسد گلوله توپ در یک مدار سهمی حرکت می کند . می دانیم که سهمی یک منحنی بسته نیست و اگر جسم ما در این مدار قرار بگیرد برای همیشه از حوزه جاذبه زمین فرار کرده و هیچگاه به زمین بر نمی گردد . ( شکل شماره ۸ مسیر سیاه رنگ ) چنین سرعتی را “سرعت فرار” می نامیم (در مقاله “گرانش و انرژی” از همین فصل در مورد سرعت فرار توضیح بیشتری می دهیم )

۵) مدار هذولی

 در سرعت ۱۱/۲کیلومتر در ثانیه گلوله در مداری سهمی شکل از زمین دور می شود ولی اگر سرعت پرتاب گلوله از سرعت فرار (۱۱/۲ کیلومتر در ثانیه ) هم بیشتر شود گلوله در مداری هذولی برای همیشه از زمین دور می شود و هیچگاه دیگر به زمین برنمی گردد . (شکل شماره ۸ مسیر قرمز )

۶) مدارهای باز و مدارهای بسته

مدارهای دایره و بیضی مدارهای بسته هستند بنابراین جسمی که در این مدارها می چرخند دوباره به نقطه اول برمی گردند و برای همیشه ( اگر هیچ نیروی خارجی تاثیر نکند ) در مدار باقی می مانند ولی مدارهای سهمی و هذولی مدارهای باز هستند و اگر جسمی در این مدارها قرار بگیرد دیگر هیچگاه به نقطه شروع حرکت برنمی گردد .

۷) خلاصه مطالب گفته شده

درجدول شماره یک خلاصه مطالب گفته شده در این بخش را می توانید ببینید .

جدول شماره ۲ – مسیر یک حرکت پرتابی در راستای افق با توجه به سرعت پرتاب گلوله (V)

قبل از ادامه مطالب با توجه به جدول شماره یک لازم است به نکات زیر توجه کنید .

نکته یک : همانطور که در ابتدا گفته شد این مقادیر با این فرض می باشد که از مقاومت هوا صرف نظر کنیم اگر بجای بردن توپ در بالای کوه یک ماهواره را به ارتفاع پائین ( حدود ۱۰۰ کیلومتر) ببریم و سرعت اولیه موازی سطح زمین به آن بدهیم همین نتیجه حاصل می شود.(با این تفاوت که چون گرانش زمین کمتر شده است سرعت فرار و سرعت مداری هم مقداری کمتر می شود )در ضمن در ارتفاعی که ماهواره ها در مدار قرار می گیرند مقاومت هوا هم تقریبا وجود ندارد .
نکته ۲ : اعداد و مقادیر زیر برای زمین بوده اگر توپ نیوتن را بالای کوهی در یک کره دیگر( سیاره ،قمر و… ) ببریم با توجه به جرم سیاره و ارتفاعی که بالابرده می شود مقادیر متفاوتی حاصل می شود (در مورد سیارات مختلف این اعداد تفاوت می کند) که در بخش های بعدی به آن خواهیم پرداخت .
نکته ۳ : اثبات آنچه در جدول شماره دو آمده با توجه به فرمول دیفرانسیلی و  برداری قانون گرانش جهانی اثبات خواهد شد که بخش ها و قسمت های بعدی به آن خواهیم پرداخت .

۸) مقاطع مخروطی و مدار پرتابه ها

مقاطع مخروطی شکل هائی هستند که از برخورد یک صفحه با مخروط دوار بدست می آیند ( بخش دوم « مختصری از مقاطع مخروطی» ) این شکل ها عبارتند از ( دایره ، بیضی ، هذولی و سهمی ) به علت این که مسیر حرکت سیارات و قمرها و… سایر اجرام سماوی بر گرد یک جسم بسیار بزرگتر ( پایه گرانش ) یکی از مقاطع مخروطی است مطالعه مقاطع مخروطی در نجوم بسیار مهم می باشد.(بخش دوم همین مقاله)

۹) سرعت مداری

سرعت مداری(Orbital speed)  سرعتی است که یک جسم بسیار کوچک (در مقابل جسم بزرگ ) باید داشته باشدتا بتواند بدون این که روی جسم بزرگ سقوط کندو یا ازحوزه گرانش جسم بزرگ فرار کند به دور آن بچرخد. این جسم بزرگ می تواند خورشید باشد که سیاره ها دور آن می چرخند و یا سیارات (عطارد و ناهید و زمین و…)باشند که یک قمر طبیعی و یا مصنوعی(و یا هرجسم کوچک دیگر ) به گرد آن بچرخد .
این سرعت مقدار ثابتی نیست و بستگی به مدار ماهواره (یا سیاره یا قمر طبیعی و…) دارد که دور جسم بزرگ دوران می کند . ولی یک حداقل و یا حداکثری دارد که در مورد آن توضیح می دهیم .

۱۰) حداقل سرعت مداری

حداقل سرعت برای ماندن یک جسم کوچک در مدار جسم بزرگتر( با توجه به فاصله جسم کوچکتر از مرکز جسم بزرگتر) سرعتی است که جسم کوچکتر را در مدار دایره ای بر گرد جسم بزرگتر نگه دارد . اگر سرعت جسم کوچکتر بیشتر از این باشد مدار به جای دایره بیضی و اگر به سرعت فرار برسد مدار سهمی و بیشتر از آن هذولی خواهد شد . حداقل سرعت مداری به این طریق محاسبه می شود که نیروی گرانش را برابر نیروی گریز از مرکز قرار داده و حداقل سرعت مداری را تعیین می کنیم . به عنوان مثال اگر ارتفاع یک ماهواره از سطح زمین h باشد حداقل سرعت مداری به این طریق محاسبه می شود . 
برای محاسبه حداقل سرعت مداری ابتدا مقادیر اولیه را می نویسیم .  

نیروی گریز از مرکزی که ماهواره (در مدار زمین) و یا سیاره ها (در مدار خورشید) و یا … نگه می دارد با نیروی گرانش خنثی می شود بنابراین داریم .

در نهایت بعد از جاگزاری و ساده کردن می توانیم نتیجه بگیریم : 

نکته ۱ : در صورتی که بجای زمین یک سیاره ( یا هر جسم دیگری ) قرار دهیم در فرمول فوق بجای Me  و Re ( جرم و شعاع زمین ) جرم و شعاع سیاره را قرار می دهیم .
نکته ۲ : در مدارهای بیضوی سرعت ماهواره ثابت نیست درنقاطی که به مرکز زمین نزدیکتر باشد سرعت بیشتر ودرنقاطی که دورتر باشد سرعت کمتر است.این مسئله را در بخش بعدی (قوانین کپلر)کامل توضیح می دهیم. با این وجود توسط این فرمول سرعت متوسط را در مدار بیضی می توان حساب کرد به شرطی که به جای h+Re نیم قطر بزرگ بیضی را قرار دهیم . ( توجه کنید کانون بیضی مرکز زمین است )
نکته ۳ : با توجه به آنچه گفته شد کمترین انرژی و سرعت را در یک ارتفاع مشخص ، جسمی دارد که مدار دایره ای داشته باشد در مدارهای بیضی هرچه بیضی کشیده تر باشد سرعت و انرژی جسم مداری بیشتر است . در این مورد باز هم توضیح خواهیم داد .

۵- قوانین کپلر 

یوهانس کپلر دانشمند بزرگ آلمانی قبل از کشف و فرمول بندی قانون گرانش عمومی بر مبنای یافته ها و رصدهای تیکوبراهه توانست برای حرکت سیارات بر گردخورشید سه قانون مهم وضع کند که به نام قوانین کپلر خوانده می شود . بعد از کشف قانون گرانش جهانی نیوتن بر اساس قانون گرانش جهانی توانست قوانین کپلر را ثابت کند در این بخش در مورد قوانین کپلر و نتایج آن توضیح می دهیم .

۱) کپلر و تیکوبراهه

یوهانس کپلر(Johannes Kepler)در۲۷دسامبر۱۵۷۱درشهر وایل‌دراشتات آلمان بدنیا آمد.او دانشمند، ریاضیدان و ستاره‌شناس مشهوری بود.کپلر در اصل می خواست کشیش شود ولی بخاطر هوش و نبوغش و با توصیه استادانش برای یادگیری ستاره شناسی عازم دانشگاه توبینگن آلمان شد و به تحصیل نجوم پرداخت .
از طرف دیگردرسال۱۵۴۶در کشور دانمارک منجم مشهوری پای به عرصه وجود نهاد که تیکوبراهه نام گرفت. تیکوبراهه (Tycho Brahe)دردانشگاه کپنهاگ و دانشگاه‌های آلمانی در رشته ستاره‌شناسی گذراند. و در سال ۱۵۷۶باحکم فردریک دوم (پادشاه دانمارک)مدیر رصدخانه سلطنتی دانمارک شد او تا سال۱۵۹۷(به مدت حدود ۲۰سال) که مدیر رصدخانه سلطنتی دانمارک بود دقیقترین رصدها و مشاهدات را ازحرکت سیارات ارائه داد و منبع ارزشمندی گردآوری کردکه تا آن زمان هنوز کسی ارائه نداده بود ( ازجمله آن که موقعیت و مختصات ۷۷۷ شی را بدقت ثبت کرد) در سال ۱۵۹۷بعلت درگذشت فردریک دوم و عدم حمایت جانشینش به آلمان آمدو منجم سلطنتی امپراتور آلمان (امپراتوری روم مقدس) شد .
تیکو براهه به محض این که در دربار امپراتوری روم مقدس به عنوان منجم سلطنتی انتخاب شد کپلر را به عنوان دستیار و معاون خود انتخاب کرد و از این به بعد بخت به کپلر روی آورد زیرا یک سال بعد تیکو براهه در گذشت(و یا به قولی توسط کپلر به قتل رسید) و کپلر با زیرکی جای او را گرفت و به گنجینه با ارزش
تیکوبراهه دست پیدا کرد و با توجه به آثار تیکوبراهه (که خود تیکو براهه نمی خواست منتشر شود )
توانست قوانین خود را نتیجه گیری کند .

شکل شماره ۱۱  – تیکو براهه و کپلر

۲) قوانین کپلر

کپلر با مطالعه و ادامه رصدهای تیکوبراهه توانست سه قانون خود را نتیجه گیری کند در اینجا ابتدا قوانین کپلر را آورده و در قسمت های بعد در مورد آنها توضیح بیشتری می دهیم .
۱-۲) قانون اول کپلر : مدارحرکت سیارات به گرد خورشید یک بیضی است که خورشید در یکی از دو کانون آن قرار دارد. (شکل شماره ۱۲)
۲-۲) قانون دوم کپلر : خط وصل‌کننده هر سیاره به خورشید در زمان‌های مساوی مساحت های مساوی جاروب می‌کند.(شکل شماره ۱۲)
۳-۲) قانون سوم کپلر : نسبت مکعب فاصله متوسط هر سیاره تا خورشید به مربع زمان یک دور کامل گردش سیاره (دوره تناوب یا پریود ) تناسب مستقیم دارد.
نکته : در قانون سوم کپلر منظور از فاصله سیاره تا خورشید فاصله متوسط می باشد . که در مدارهای دایره ای شعاع دایره و در مدارهای بیضی نیم قطر بزرگ بیضی است .( مرکز خورشید کانون بیضی است ) 

 

شکل شماره ۱۲ – قانون اول و دوم کپلر 

قانون دوم کپلر را در این تصویر متحرک می توانید مشاهده کنید :

تصویر متحرک یک – قانون دوم کپلر

 ۳) مدل دایره ای مدار سیارات  

بعد از آن که کپرنیک نظریه خورشید مرکزی را وضع کرد با توجه به اعتقادات آن روز مدار چرخش سیارات به دور خورشید را دایره کامل عنوان کرد . در آن زمان دایره شکل مقدسی بودکه از هر طرفی هماهنگی داشت و این موضوع از نظر آن‌ها با نظم آفریننده همخوانی بیشتری از خود نشان می‌داد. از این رو بخاطر اعتقادات باطلی که تا آن زمان شکل گرفته بود منجمان که اعتقادات مذهبی هم داشتندغیر ازدایره کامل شکل دیگری نمی توانستند برای مدار سیارات تصور کنند .

۴) کپلر چگونه موفق به کشف قانون اول خود شد ؟

کپلر شروع به مطالعه و بررسی رصدهای تیکوبراهه و جداول نجومی او کرد . نجوم تیکوبراهه مخلوطی بود از مدل زمین مرکزی و خورشید مرکزی(نظریه تیکو براهه به این صورت بود که تمام سیارات دور خورشید می چرخند و خورشید دور زمین می چرخد) کپلر به مدل خورشید مرکزی کپرنیک اعتقاد کامل داشت و مدل تیکوبراهه را قبول نداشت ولی رصدهای او را بی نقص می دانست با این وجود متوجه شد رصدهای تیکو براهه به طور کامل در نظریه خورشید مرکزی صدق نمی کند بنابراین ۱۰سال از عمرخود را به تنهائی صرف بررسی حرکات سیارات کرد. ولی رصدها با واقعیت جور در نمی آمدبخصوص در مورد مریخ (تیکو براهه هم به این موضوع اشاره کرده بود) بنابراین کپلر مریخ را انتخاب کرد و روی آن به مطالعه و رصدپرداخت . او همه تلاش خود را کرد تا با توجه به مداردایره ای عدم تقارن ها را توجیه کند ولی نتوانست و موقعی که (بقول خودکپلر به او الهام شد) مدار را بجای دایره بیضی بگیرد همه چیز در جای خود قرار گرفت و عدم تقارن ها و ناهماهنگی ها از بین رفت از این رو کپلر طی قانون اول خود مدار سیاره ها را بجای دایره بیضی فرض کرد .

۵) ادامه تحقیقات کپلر و قانون دوم و سوم

کپلر در سال ۱۶۰۶ کتابی به نام “نجوم جدید” منتشر کرد که در آن قید شده بود همه سیارات در مداری بیضی شکل که خورشید در یکی ازکانون های آن قرار دارد به دور خورشید می چرخند و همچنین او تاکید کرد که هرچه سیاره به خورشید نزدیک تر باشد سرعت بیشتری هم دارد و بر این اساس قانون دوم خود را هم نتیجه گیری کرد که خط واصل بین خورشید و سیارات در زمان های مساوی مساحت های مساوی راجاروب می کند.
کپلر در سال ۱۶۱۸موفق به کشف قانون سوم خود هم شد .
قوانین کپلر دنیای نجوم را دگرگون کرد از این رو کپلر را پدر ستاره شناسی نوین می خوانند نکته قابل توجه این که قوانین کپلر قبل از کشف قانون جاذبه عمومی نیوتن وضع شده بود و همانطور که در قسمت بعد توضیح خواهیم داد از روی قانون جاذبه عمومی نیوتن قوانین کپلر را هم می توان اثبات کرد .

۶) نقطه حضیض و اوج و سرعت در نقطه اوج و حضیض

طبق قانون اول کپلر مدار سیاره ها به دور خورشید بیضی می باشد بنابراین سیاره در نقاطی به خورشید دورتر و در نقاطی به خورشید نزدیکتر می شود. نزدیکترین فاصله سیاره تا خورشید را نقطه حضیض و دورترین فاصله تا خورشید را نقطه اوج می نامند .
همچنین قانون دوم کپلر می گوید خط حاصل بین سیاره و خورشید در زمان های مساوی مساحت های مساوی جاروب می کند . لازمه این امر این است که در نزدیکترین فاصله (نقطه حضیض) سرعت سیاره بیشتر و در نقطه اوج سرعت سیاره کمتر باشد .

۷) اثبات قوانین کپلر

نیوتن بعد از کشف و فرمول بندی قوانین گرانش ( که به صورت دیفرانسیلی و برداری نوشته شد ) اقدام به اثبات و حل بسیاری از مسائل مکانیک مربوط به گرانش از جمله قوانین کپلر کرد . به علت پیچیدگی و راه حل طولانی امکان نوشتن و توضیح جزئیات این اثبات ها در اینجا وجود ندارد . کسانی که آشنائی کامل با حساب دیفرانسیل و انتگرال همچنین جبر برداری دارند می توانند اثبات قوانین کپلر را در فایل زیر مشاهده کنند .

فایل Pdf اثبات قوانین کپلر

Download Mekanike Medary Danlody 01.pdf

۸) اثبات قانون سوم کپلر در حالت خاص

در این قسمت در حالت خاص که مدارها دایره باشند می توانیم قانون سوم کپلر را ثابت کنیم.(اثبات کامل قانون سوم در حالت بیضی در فایل Pdf ضمیمه آمده است.)
طبق قانون سوم کپلر نسبت مربع دوره تناوب هر سیاره تا خورشید به مکعب فاصله تا خورشید مقداری ثابت است یعنی داریم . 

با مساوی قرار دادن نیروی گریز از مرکز و نیروی گرانش داریم .

در نهایت بعد از ساده کردن و همینطور قرار دادن مقادیر معلوم ( ثابت گرانش و جرم خورشید ) به نتیجه زیر می رسیم .
مقادیر ثابت را در معادله گذاشته تا به عدد زیر برسید . برای محاسبه می توانید از ماشین حساب آنلاین استفاده کند “ ماشین حساب آنلاین

یعنی مقدار این نسبت عددی ثابت است که تنها به جرم خورشید (و یا پایه گرانش مرکزی)بستگی دارد .
نکته : اگر در مدارهای بیضی R را نیم قطر بزرگ بیضی بگیریم( کانون بیضی مرکز خورشید است ) این فرمول در مدارهای بیضی هم درست است .

۹) مدار سیارات منظومه شمسی

از نظر عملی مدار سیارات هر کدام از مقاطع مخروطی می تواند باشد ولی مدار هذولی و سهمی مدارهای باز هستند پس اگر در پیدایش منظومه شمسی (یا هر منظومه ستاره ای دیگر) اجسامی بودند که این مدارها را داشته اند دیگر جزء سامانه منظومه شمسی نیستند . پس می ماند مدارهای دایره و بیضی که در مورد آن توضیح می دهیم .
برای این که مدار دقیقا دایره ای باشد باید پارامترهای موجود (مانند سرعت اولیه و…) دقیقا مقدار مشخصی داشته باشد که امکان آن بسیار بعید است پس تنها بیضی می ماند حال این سوال پیش می آید که چرا مدار سیاره ها (بخصوص سیارات درونی) بیضی نزدیک به دایره هستند؟
در جواب باید گفت که در ابتدای پیدایش منظومه شمسی سیارات مدارهای کم و بیش بیضی ( نزدیکتر به دایره و یا بیضی کشیده داشتند) از آن زمان (به دلائلی که در مقاله های آینده توضیح می دهیم) سیارات شروع به از دست دادن انرژی کردند( سیارات درونی انرژی بیشتری از دست می دادند ) این از دست دادن انرژی ابتدا شدیدتر بود و بعد کم و کمتر شد تا به حالت تعادل رسید و با از دست دادن انرژی سرعت آنها کاهش پیدا کرد و چون کمترین سرعت به مدار دایره ای مربوط می شود (این را بارها گفتیم) مدارها به دایره نزدیکتر شدند از این رو مدارها اگر چه بیضی هستند ولی به دایره بسیار نزدیک هستند.
در این مورد در مقاله ” گرانش و انرژی  ” توضیح بیشتری خواهیم داد . همچنین در مقاله “ سیاره چیست؟ “ از فصل “ سیارات “ که در آینده منتشر می شود توضیح خواهیم داد .
نکته : اگر مدار دایره کامل شده و باز هم سیاره انرژی از دست بدهند به مدار پائین تر منتقل شده و اگر باز هم از دست بدهد باز هم پائین تر و… تا سقوط روی خورشید پدیده ای که فعلا اتفاق نمی افتد .

۶- انواع حرکت های مداری

در بخش قبل در مورد حرکت یک جسم کوچک در مدار اجسام بسیار بزرگ توضیح دادیم . مدارهائی که بر اساس قوانین کپلر توضیح داده می شود . در آنجا فرض کردیم که جسم در مدار قرار داده شده نسبت یه جسم مادر بسیار بسیار کوچک است بنابراین جسم کوچکتر در مدارهائی که یکی از مقاطع مخروطی است به دور جسم بزرگتر دوران می کند ولی آیا همیشه همینطور است؟ در بسیاری از موارد جسم دوم یا مساوی جسم اول است یا فقط مقداری کوچکتر است و نمی توانیم از جرم آن صرف نظر کنیم در این مقاله در مورد تاثیر متقابل دو جسم بر همدیگر توضیح می دهیم مسئله ای که در مکانیک  به “ مسئله دو جسم “ مشهور است .

۱) مرکز جرم چیست ؟

مرکز جرم((Center of massیک جسم صلب (جسم سخت)یا مجموعه ای از اجسام که یک سیستم را تشکیل می دهند نقطه مشخصی در درون (جسم یا سیستم) می باشد که گوئی همه جرم آن جسم (یا سیستم) در آن نقطه متمرکز شده است . پس در هر جسم صلب، نقطه ای به نام مرکز جرم وجود دارد که گرانیگاه (نقطه تعادل)هم نامیده می شود. برای مطالعه کامل مرکز جرم به مقاله “ مرکز جرم “ مراجعه کنید .

۲) مرکز جرم دو جسم

اگر دو جسم با جرم مختلف ( جسم بزرگتر M و جسم کوچکتر m ) داشته باشیم که به فاصله D از یکدیگر قرار داشته باشند فاصله مرکز جرم آنها از جسم بزرگتر (d) از این رابطه بدست می آید .

در صورتی که نسبت دو جرم را داشته باشیم می توانیم فرمول را به صورت زیر هم بنویسیم .

 

۳) مدار حرکت دو جسم

وقتی می گوئیم ماهواره (چند کیلوئی ) دور زمین می چرخد و یا ماه به دور زمین می چرخد وقتی از چرخش سیاره ها در مدار خورشید صحبت می کنیم و یا چرخش ستاره های مزدوج (که جرمشان تقریبا برابر است ) صحبت می کنیم در واقع از مسئله دو جسم را که تحت گرانش یکدیگر قرار دارند صحبت می کنیم . این دو جسم هر نسبتی که با هم داشته باشند برای جلوگیری از برخورد با یکدیگر هر دو ( باز هم تاکید می کنیم هر دو ) دور مرکز جرم مشترکشان می چرخند . حرکت مداری یکطرفه نیست در واقع هر دو جسم مداری را جداگانه حول مرکز جرم مشترکشان تشکیل می دهند که این مدار یکی از مقاطع مخروطی می باشد . برای ساده تر شدن مسئله ابتدا مدار دایره ای را مورد بررسی قرار می دهیم و با توجه به فرمول مرکز جرم (قسمت دوم از همین بخش)حالت های مختلف را به همراه مثال مورد بررسی قرار می دهیم .

۴) حالتی که مرکز جرم عملا بر مرکز جسم بزرگ منطبق می شود 

این همان حالتی است که قبلا بررسی کردیم مثال بارز آن گردش یک ماهواره به دور زمین می باشد در این حالت می توانیم ازجرم جسم دوم در مقابل جسم اول صرف نظر کنیم (همان کاری که قبلا کردیم ) بنابر این داریم :

پس فاصله مرکز جرم تا مرکز جسم عظیم مرکزی صفر می شود و مرکز جرم بر مرکز جرم مرکزی منطبق می شود ( شکل شماره ۱۳ )

شکل شماره ۱۳ – مدار یک جسم بسیار کوچک در مقابل جسم بسیار بزرگ

همانطور که توضیح داده شد نمونه آن گردش ماهواره بر گرد زمین می باشد همچنین از مدار زمین به دور خورشید هم می توان نام برد . اگر چه مرکز جرم فاصله قابل ملاحظه ای از مرکز خورشید دارد .

شکل شماره ۱۴ – ماهواره ای در مدار زمین نمونه ای از عظیم بودن جسم مرکزی

این تصویر متحرک هم این نوع حرکت مداری را نشان می دهد : 

تصویر متحرک شماره ۲ – وقتی مرکز جرم تقریبا در مرکز جسم عظیم مرکزی قرار دارد .

۵) حالتی که مرکز جرم بر مرکز جرم بزرگ منطبق نمی باشد ولی در درون آن قرار می گیرد

اگر جرم دوم بقدری بزرگ باشد که نتوان از جرم آن در مقابل جرم اول صرف نظر کرد مرکز جرم دیگر در مرکز جسم بزرگ قرار نمی گیرد بلکه به مقدار قابل ملاحظه ای از مرکز آن فاصله می گیرد در این صورت اگر
شعاع جسم دوم به اندازه کافی بزرگ باشد مرکز جرم در درون جسم بزرگ قرار می گیرد و جسم بزرگ هم حول مرکز جرم خود که درونش قرار دارد دوران می کند که اگر این مرکز جرم به مرکز جسم دوم نزدیک باشد از دور شبیه نوعی حرکت نوسانی و ارتعاش به نطر می رسد .

شکل شماره ۱۵ – حالتی که مرکز جرم بین مرکز جسم بزرگ و سطح آن قرار دارد

مثال بارز آن مجموعه ماه و زمین می باشد که مرکز جرم آن در فاصله ۴۷۰۰کیلومتری مرکز زمین قرار دارد و اگر از دور به زمین نگاه کنیم حرکت ارتعاشی زمین حول مرکز جرم مشترکش با ماه کاملا مشهود است .

شکل شماره ۱۶ – مرکز جرم ماه و زمین

تصویر متحرک شماره ۳ – وقتی مرکز جرم بین مرکز و سطح جسم عظیم قرار دارد .
نکته : در این حالت (مدار دایره ای)چرخش دو کره باید به گونه ای انجام می شود که فاصله مرکز جرم از مرکز دو کره تعغیر نکند .

۶) اندازه دو جسم متفاوت است ولی مرکز جرم در خارج از هر دو جسم قرار دارد

این حالت موقعی پیش می آید که جرم دو جسم با هم تفاوت می کند ولی تفاوت در آن حدی نیست که مرکز جرم در دورن جسم بزرگتر قرار بگیرد (یا شعاع جسم بزرگتر آنقدر بزرگ نیست که مرکز جرم را درون خودش جای دهد)بنابراین دو کره مانند یک مجموعه دوتائی هر کدام به طور جداگانه حول مرکز جرم مشترک خود دوران می کنند . از دور که نگاه کنیم دو جسم را می بینیم که هر دو ضمن این که حالت تقابل خود را حفظ می کنند ( درست مقابل همدیگر قرار دارند)حول نقطه ای نامرئی به گونه ای دوران می کنند(جهت دوران هر دو در یک جهت است) که فاصله خود را حفظ می کنند برای این مجموعه دو مدار تعریف می شود مدار بزرگتر که جسم کوچکتر  در آن دوران می کند و مدار کوچکتر که جسم بزرگتر دوران می کند (شکل شماره ۱۷) در طبیعت از این گونه مدارها زیاددیده می شودآشناترین آنها ستارگان مزدوج (دوتائی) می باشد که یکی بزرگتر ودیگری تا حدی کوچکتر است و هردو به همان ترتیب که گفته شدحول مرکز جرم مشترکشان گردش می کنند(درمورد ستارگان درمقاله ای دیگر شرح می دهیم)

  

 شکل شماره ۱۷ – حالتی که مرکز جرم در خارج از جسم بزرگترقرار دارد 

 آشناترین نمونه آن درمنظومه شمسی پلوتون و قمرش شارون می باشد .

 

 شکل شماره ۱۸ – مجموعه پلوتون و شارون  

تصویر متحرک شماره ۴ – وقتی مرکز جرم بین مرکز و سطح جسم عظیم قرار دارد .

 ۷) هر دو جسم دقیقا اندازه هم هستند

در این حالت دو جسم تقریبا هم اندازه هستند (زیرا احتمال این که دقیقا جرم برابر داشته باشند خیلی کم است ) در این صورت بجای مدارهای جداگانه دو حسم حول یک مدار مشترک گرد مرکز جرم مشترکشان می چرخند به گونه ای که هر دو در دوسر قطری از دایره ای که مدار را تشکیل داده است قرار می گیرند .

شکل شماره ۱۹ – حالتی که دو جسم جرم یکسان داشته باشند و بنابراین در مدار مشترکی حول مرکز جرم مشترکشان می چرخند

تصویر متحرک شماره ۵ – وقتی مرکز جرم بین مرکز و سطح جسم عظیم قرار دارد .

با استفاده از فرمول مرکز جرم می توانیم  نشان دهیم مرکز جرم دقیقا در وسط فاصله دو جسم قرار می گیرد.

۸) مسئله دو جسم

مسئله دو جسم یا مسئله دو جرم (Two-Body Problem) در مکانیک کلاسیک، در مورد تعیین حرکت دو جسم است که تنها با یکدیگر فعل و انفعال دارند. مثال‌های متداول، شامل حرکت یک ماهواره به دور یک سیاره، حرکت یک سیاره به دور یک ستاره، حرکت دو ستاره به دور یکدیگر (ستاره دوتایی) و … بنابراین تمام حالت هائی که در اینجا دو مورد اثرات رابطه بیم دو جسم که تحت تاثیر گرانش یکدیگر قرار دارند جزئی از این مسئله می باشد .
همچنین در سایر رشته های فیزیک مانند بررسی کلاسیک حرکت الکترون به دور هسته اتم و… مسئله دو جسم کاربرد دارد .

۹) مدارهای بیضی

در مورد حالت های خاصی که دو جسم تحت تاثیر گرانش متقابل یکدیگر قرار می گیرند تا اینجای کار مدارها را دایره در نظر گرفتیم ولی همانطور که قبلا هم گفته شد مدارهای می توانند یکی از مقاطع مخروطی باشند  (البته در مورد مدارهای سهمی و هذولی که به معنی فرار از گرانش یکدیگر می باشد توضیح نمی دهیم) ولی در واقع بیشتر مدارها بیضی (ازبیضی نزدیک به دایره تا بیضی کشیده ) هستند “شکل شماره ۲۰” یکی از این مدارها را نشان می دهد . که در آن دو جرم برابرند .

شکل شماره ۲۰ – حالتی که دو جسم جرم یکسان داشته  باشند ولی مدار بیضی می باشد.

نکته : درحالتی که مدارها بیضی باشد فاصله دو جسم ثابت نبوده و تعغیر می کند ( همچنین فاصله مرکز جرم از مراکز دو جسم) ولی مکان مرکز جرم همیشه به گونه ای است که وسط دو جسم قرار می گیرد .

۱۰) محاسبه مرکز جرم ماه و زمین و زمین و خورشید

با استفاده از فرمول مرکز جرم می توانیم مرکز جرم مجموعه ماه و زمین و مجموعه زمین و خورشید را حساب کنیم .
۱-۹) مجموعه زمین و ماه : زمین حدود ۸۰برابر ماه می باشد بنابر این مرکز جرم به فاصله ۴۷۴۰ کیلومتری مرکز زمین واقع شده است .نه در مرکززمین ،بنابراین گرانش ماه سبب می شود که زمین
علاوه بر گردش به دور خورشید دور مداری که در فاصله ۴۷۴۰ کیلومتری مرکزش قرار دارد دوران کند .  

۲-۹) مجموعه زمین و خورشید : خورشید حدود ۰۰۰ر۳۳۰برابر زمین جرم دارد . بنابر این مرکز جرم به فاصله ۴۵۰ کیلومتری مرکز خورشید واقع شده است . با توجه به شعاع تقریبا ۷۰۰ هزار کیلومتری خورشید ۴۵۵ کیلومتر را می توانیم تقریبا در مرکز خورشید بگیریم .

 

۷- ماهواره  

در این بخش در مورد ماهواره و اهمیت ماهواره در تکنولوژی امروز توضیح می دهیم دستگاه هائی که به فضا فرستاده شده و در مدار زمین و یا سیارات دیگر منظومه شمسی قرار داده شده اند . و با استفاده از قوانین گرانش و قوانین کپلر کار می کنند .
در مورد ماهواره و اهمیت آن در مقاله ای جداگانه به نام “ ماهواره “ به طور مفصل توضیح می دهیم در این بخش توضیحی مختصر راجع به ماهواره و مدارهای ماهواره ای و… می دهیم .

۱) ماهواره( Satellite )چیست ؟ 

هر دستگاهی که توسط بشر ساخته شده و به فضا فرستاده شود و در مداری (دایره ای یا بیضی) به دور زمین و یا سیارات دیگر بچرخد  ماهواره (شبیه ماه) و یا قمر مصنوعی نامیده می شود . ماهواره ها کاربردهای بسیار متنوعی دارند به گونه ای که تکنولوژی ما بدون ماهواره و تجهیزات مرتبط با آن بکلی فلج می شود .

۲) تاریخچه ماهواره  

بعد از کشق قانون گرانش جهانی و پی بردن به چگونگی حرکت سیاره ها بر گرد خورشید کم کم این ایده در ذهن ها شکل گرفت که اگر بتوان یک جسم را به فضای خارج از زمین برده و سرعت مناسبی به آن بدهند برای همیشه در مداری (دایره ای و یا بیضوی) به دور کره زمین می چرخد. 
در سال۱۸۶۹(حدود صد سال قبل از پرتاب اولین ماهواره)نویسنده ای به نام ادوارد اورت هیل در کتابش به نام «ماه آجری» از ماهواره ای حامل انسان نام برده که در مدار زمین قرار داده شد . همچنین ژول ورن در داستان «میلیون‌های بگم» که در سال ۱۸۷۹ منتشر شد از گلوله توپی نام برده شده که ناخواسته در مدار زمین قرار داده شده و به گرد زمین شروع به چرخش کرده است . همچنین نویسنده های زیادی در داستان های خود این ایده ها را پیش کشیدند ولی عنوان نکردند که فایده این کار چیست ؟ آرتور سی کلارک نویسنده بریتانیائی عنوان کرد که اگر یک ماهواره را در روی خط استوا و به فاصله حدود ۳۶۰۰۰ کیلومتری زمین قرار دهید حدود ٪۴۰ سطح زمین را پوشش داده و می توان از آن برای پوشش برنامه های رادیوئی و تلویزیونی استفاده کرد .
سرانجام در اوج رقابت های فضائی میان آمریکا و شوروی(برای توضیح کامل در مورد رقابت فصائی به مقاله “ رقابت فضائی “ مراجعه کنید .) در تاریخ ۴ اکتبر ۱۹۵۷(۱۲مهر۱۳۳۶) شوروی موفق شد نخستین ماهواره را به نام “اسپوتینک یک “از پایگاه فضایی بایکونور با موشک فضائی (Sputnik 8K71PS) به مدار زمین پرتاب کند و به این گونه عصر ماهواره ها شروع شد .

۳) کاربردهای ماهواره

مهمترین چیزی که ماهواره را به وسیله ای بسیار مهم و پرکاربرد تبدیل کرده است این است که ارتفاع ماهواره از سطح زمین (نسبت به اشیاء زمینی مانند کوه ها و…)خیلی زیاد است و در آن ارتفاع زیاد قسمت های بسیار زیادی از سطح زمین دیده می شود . همچنین ماهواره با حرکت سریع به دور زمین می تواند در آن ارتفاع بالا قسمت بسیار زیادتری را هم تحت پوشش خود در آورد بنابراین از یک ماهواره می توان برای عکس برداری و فیلم برداری (ازنقاط مختلف زمین)و…تا مخابره امواج رادیوئی ،برای کاربردهای (علمی و تحقیقاتی،جاسوسی و نظامی،خدمات رسانی در بخش مخابرات و…)استفاده کرد. برای تحقیقات نجومی(قراردادن تلسکوپ های نوری و…تا گیرنده امواج مادون قرمز و فرابنفش) می توان ازماهواره استفاده کردزمینه ها وکاربردهای ماهواره بقدری گسترده است که در این مقاله نمی گنجد.(درمقاله “ ماهواره “توضیحات کاملتری در این ارتباط می دهیم )

۴) ماهواره چگونه پرتاب می شود ؟

ماهواره ها را از روی زمین با موشک های بزرگ به فضا می فرستند و در ارتفاعی که از قبل مشخص شده ( و نوع موشک و سوخت موشک هم به همین منظور طراحی شده ) به صورت افقی قرار می دهند و  بستگی به نوع مدار (دایره کامل یا انواع مدارهای بیضی ) سرعت اولیه لازم را برای قرار گیری در مدار از پیش طراحی شده (که با توجه به قوانین کپلر مشخص شده)به ماهواره می دهند و ماهواره تا مدت زمانی که عمر ماهواره نامیده می شود در مدار خود باقی می ماند . موشک هائی که ماهواره را به ارتفاع مورد نظر می فرستند موشک های ماهواره بر نامیده می شوند این موشک ها جزء بزرگترین موشک ها می باشند و هر چه ارتفاعی که ماهواره باید فرستاده شود بیشتر باشد موشک بزرگتری مورد نیاز می باشد . از این رو تکنولوژی ساخت و فرستادن و در مدار قرار دادن ماهواره دراختیار معدودی از کشورهای جهان که تکنولوژی و امکانات وسیعتری دارند قرار دارد. بنابراین کشورهائی که تازه در این گروه قرار می گیرند ابتدا با فرستادن ماهواره در ارتفاع کمتر شروع می کنند .

۵) ماهواره تا چه ارتفاعی بالا می رود ؟

با توجه به وظیفه و کارکرد ماهواره ارتفاع ها و مدارهای مختلفی برای ماهواره ها وجود دارد که در قسمت بعد به اختصار شرح می دهیم ولی نکته ای که بسیار مهم می باشد این است که ماهواره تا ارتفاع مشخصی بالا رفته و بعد رها می شود و قرار است سال ها در مدار زمین باقی بماند بنابراین باید از جو زمین خارج شود در غیر این صورت بر اثر برخورد با مولکول های هوا سرعت آنها کم و کمتر شده و در یک مدار مارپیچی به درون جو زمین سقوط می کنند . طبق تعریف خط کارمن ( ارتفاع ۱۰۰ کیلومتری )مرز هوا و فضا می باشد و هر شخص و هر شی که از این ارتفاع بالاتر برود به فضا رفته است ( برای مطالعه در مورد مرز هوا و فضا به مقاله “ هوا و جو “ بخش نهم «  ۹- هوا و فضا (انواع تعاریف در مورد مرز هوا و فضا) » مراجعه کنید) ولی در ارتفاع ۱۰۰ کیلومتری هنوز مقاومت هوا وجود دارد و ماهواره ای که تا این ارتفاع بالا برودمدت زمان زیادی در فضا نمی ماند. امروزه مشخص شده کمترین ارتفاع برای باقی ماندن ماهواره ارتفاع ۳۰۰ کیلومتری می باشد که ارتفاع پائین نامیده می شود . در هر صورت هرچه ارتفاع ماهواره بیشتر باشد طول عمر ماهواره هم بیشتر است .

۶) محاسبه دوره تناوب ماهواره ها

سرعت و دوره تناوب ماهواره ها با توجه به قوانین کپلر و قانون جاذبه عمومی نیوتن مشخص می شود . نیروئی که ماهواره ها را در مدار زمین نگه می دارد نیروی گریز از مرکز می باشد نیروی گریز از مرکز نیروی وزن را خنثی کرده و جلو سقوط ماهواره را بر روی زمین می گیرد . از همین رابطه ها سرعت و دوره تناوب ماهواره را مشخص می کنند و موقعی که می خواهند ماهواره را در مدار قرار دهند می دانند چه سرعت اولیه ای باید به ماهواره بدهند .
برای محاسبه دوره تناوب ماهواره ها طبق قانون سوم کپلر نسبت مربع دوره تناوب یک سیاره(در اینجا ماهواره ) به مکعب فاصله متوسط سیاره (در اینجا ماهواره) ازخورشید (در اینجا زمین) مقداری ثابت است این مقدار ثابت را بدست آورده و فرمول محاسبه دوره تناوب را بدست می آوریم .

تصویر متحرک شماره ۶ – یک ماهواره در حال گردش به دور زمین و نیروهای وارد شده به آن

۱-۶) مقادیر ثابت : مقادیر ثابت و مقادیر معلوم مربوط به هر ماهواره به این صورت است .

۲-۶)فرمول مربوط به قانون سوم کپلر: فرمول را برای ماهواره ها(سامانه به مرکز زمین به جای خورشید )  می نویسیم(اصل فرمول دربخش۴ «۴- قوانین کپلر »قسمت هشتم « ۸)اثبات قانون سوم کپلردرحالت خاص» )


این فرمول مربوط به سیاره ها و خورشید است اگر به جای جرم خورشید جرم زمین را قرار دهیم به معادله زیر می رسیم .

مقادیر ثابت را در معادله گذاشته تا به عدد زیر برسید . برای محاسبه می توانید از ماشین حساب آنلاین استفاده کند “ ماشین حساب آنلاین

۳-۶) محاسبه مقدار T : با جاگذاری مقادیر معلوم در فرمول ها و حل معادله نسبت بهR داریم .

۴-۶) محاسبه سرعت ماهواره : اگر در فرمول سرعت ماهواره ها (اصل فرمول دربخش۳ «۳- توپ نیوتن و حرکت پرتابه از زمین  » قسمت دهم « ۱۰) حداقل سرعت مداری » )
 مقادیر ثابت معلوم را قرار دهیم داریم . ( که در آن R=Re+h )

۷) انواع مدارهای ماهواره ؟

ماهواره ها بنابر  وظیفه ای که دارند و کاری که برای آن طراحی شده اند همچنین امکاناتی که قرار دادند در مدارهای مختلفی قرار داده می شوند تعریف های زیادی برای مدارهای ماهواره وجود دارد که یکی از آنها مدارهای ماهواره را بر اساس ارتفاع طبقه بندی می کند .
۱-۷)ماهواره های مدار پائین(لئو):ارتفاع این ماهواره ها بین۳۲۰تا۸۰۰کیلومتر می باشد دوره تناوب آنها بین ۹۰ تا۱۰۰دقیقه می باشد.معروفترین ماهواره ای که دراین رده جای دارد ایستگاه فضائی بین المللی می باشد.
۲-۷) مدارهای قطبی:مدارچرخش این گروه از ماهواره ها در امتداد نصف النهارها و از روی قطب های شمال و جنوب می گذرد مزیت این مدار این است که در مدتی که ماهواره یک دور به دور زمین می چرخد زمین هم مقداری به دور خودش می چرخد و بنابراین ماهواره سطح بیشتری را می تواند پوشش دهد .
۳-۷)ماهواره های زمین ثابت:این مدار یکی از مهمترین مدارها می باشد تقریبا تمام ماهواره های مخابراتی و رادیوئی و تلویزیونی و… همه در این مدار قرار دارند . در قسمت بعد راجع به این مدار توضیح می دهیم .

۸) مدار زمین ثابت

مدار زمین‌ثابت (Geostationary orbit) یا مدار زمین‌ایستا که بدان کمربند کلارک نیز گفته می‌شود . یکی از مهمترین مدارهای ماهواره می باشد . برای این که دستگاه های گیرنده برنامه های ماهواره موقع پخش برنامه های تلویزیونی و… مرتب تعغیر جهت ندهند مکان ماهواره باید در آسمان ثابت باشد برای این کار دوره تناوب ماهواره با دوره تناوب گردش زمین به دورخودش (یک شبانه روز نجومی که ۲۳:۵۶:۰۴ می باشد)باید برابر باشد. بنابراین با توجه به فرمول دوره تناوب ماهواره ارتفاع ماهواره ها از سطح زمین باید ۳۵۷۸۶ کیلومتر باشد ( با توجه به فرمول رابطه دوره تناوب و ارتفاع که ذکر شد بسادگی می توانید این مقدار را بدست بیاورید )

تصاویر متحرک زیر نشان می دهد یک ماهواره زمین ثابت چگونه بالای یک نقطه ثابت می ماند .

تصویرهای متحرک شماره ۷ و ۸ – ماهواره های زمین مرکز از نمای بالا و روبرو

۹) حداقل سرعت و دوره تناوب یک جسم مداری

حال مسئله ای خاص را در نظر می گیریم فرض کنیم سطح زمین عاری از جو و هرگونه پستی و بلندی بود و ما یک ماهواره را تقریبا در سطح زمین ( ارتفاع صفر کیلومتر)قرار می دادیم  می خواهیم دوره تناوب و سرعت این ماهواره را بدست بیاوریم . با توجه به فرمول دوره تناوب و سرعت این مقادیر را داریم :
دوره تناوب ماهواره ۱:۲۴:۲۱ (حدود ۸۴ دقیقه) و سرعت آن ۷/۹ کیلومتر درثانیه می باشد. این اعداد را بخاطر داشته باشید تا در مقاله های بعد و بخش های دیگر دوباره به آن می رسیم.

برای مطالعه سایر مقاله های نجومی روی شکل زیر کلیک کنید.

برای مطالعه مقاله های روانشناسی اینجا  را کلیک کنید .

عکس های طبیعت, طبیعت خوانسار , شکوفه های بهاری  , گلستان کوه ,دانلود آلبوم های کامل بهترین و زیباترین عکس ها ,آلبوم هائی با صدها عکس کیفیت بالا ,  در هیچ کجای اینترنت این عکسها را پیدا نمیکنید , عکس هابدون استفاده از تکنیک های فتوشاپ تهیه شده , کاملا طبیعی 

برای آموزش کامل و حرفه ای گوگل مپ روی شکل زیر کلیک کنید

همه جیز در مورد گوگل مپ

۱) هر گونه اظهار نظر را در فرم اظهار نظر کاربران وارد کنید .
۲) نظرات بعد از تایید مدیریت نشان داده می شود .
۳) با انتقادات و پیشنهادات سازنده خود ما را هرچه بیشتر  همراهی کنید . مدیریت از انتقادات و پیشنهادات سازنده شما استقبال میکند .
۴) نوشته های قرمز پر رنگ ارجاع به لینک هستند که هنوز لینک آنها قرار داده نشده است ( هنوز صفحه آنها منتشر نشده است )
۵) نوشته های آبی پر رنگ ارجاع به لینک هستند که لینک آنها قرار داده شده است ( صفحه آنها منتشر شده است )
۶) هرگونه بهره برداری : کپی تمام و یا قسمتی از مطالب این سایت بدون ارجاع منبع آن ممنوع می باشد .
۷) تکثیر فایل های Pdf با ذکر منبع آزاد ولی فروش آن تحت هر عنوان و با ذکر منبع هم ممنوع می باشد.

 

 

نظر بدهید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *